Determine o trabalho realizado pelo campo de força F → x ,   y ,   z = y + z ,   x + z ,   x + y sobre uma partícula que se move ao longo do segmento de reta 1 ,   0 ,   0 a 3 ,   4 ,   2 .

Passo 1

E aii, turma?

Vamos ter que calcular o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de um segmento de reta.

Se a gente chamar esse segmento de C , o trabalho do campo F → sobre ele é:

W = ∫ C F → ∙ d r →

E pra calcular uma integral de linha, nós fazemos:

∫ C F → ∙ d r → = ∫ a b F → r → t ∙ r → ' t d t

Onde r → t é uma parametrização de C , com a ≤ t ≤ b .

Então, nosso passo a passo pra resolver isso vai ser:

  1. Determinar a parametrização de C
  2. Encontrar o r → ' t , calculando as derivadas de cada uma das componentes de r em função de t
  3. Aplicar a fórmula da integral de linha

E é isso!

Bora pras contas?

Passo 2

Pra achar a parametrização de um segmento de reta entre A = 1,0 , 0 e B = 3,4 , 2 , fazemos:

B - A = 3,4 , 2 - 1,0 , 0 = 2,4 , 2

⇒ r → t = A + t ∙ B - A

Então:

r → t = ( 1,0 , 0 ) + t ∙ 2,4 , 2

r → t = 1 + 2 t , 4 t , 2 t

E

0 ≤ t ≤ 1

Passo 3

Calculando a derivada:

r → ' t = d d t 1 + 2 t , d d t 4 t , d d t 2 t

Então:

r → ' t = 2,4 , 2

Passo 4

Aplicando a integral:

∫ C F → ∙ d r → = ∫ a b F → r → t ∙ r → ' t d t =

Como 0 ≤ t ≤ 1 ,

= ∫ 0 1 F → 1 + 2 t , 4 t , 2 t ∙ 2,4 , 2 d t =

E F → x , y , z = y + z ,   x + z ,   x + y :

= ∫ 0 1 4 t + 2 t , 1 + 2 t + 2 t , 1 + 2 t + 4 t ∙ 2,4 , 2 d t =

= ∫ 0 1 6 t , 1 + 4 t , 1 + 6 t ∙ 2,4 , 2 d t =

Multiplicando coordenada a coordenada, pra fazer o produto escalar:

= ∫ 0 1 6 t ∙ 2 + 1 + 4 t ∙ 4 + 1 + 6 t ∙ 2 d t =

= ∫ 0 1 6 + 40 t d t =

Integrando:

= 6 t + 40 t 2 0 1 =

= 6 ∙ 1 + 40 ∙ 1 2 - 0 =

Então:

W = 26

Resposta

W = 26

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