Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 24
Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Fala, galera! Beleza?
Essa questão pode ser resolvida usando teste de comparação de limite que funciona mais ou menos assim:
Imagina que temos duas séries (a série dada no enunciado) e (a série para comparação) e essas séries tem termos positivos. Aí nós calculamos o limite da divisão entre elas:
Se , então ambas as s��ries convergem ou ambas as séries divergem. O uso desse teste é necessário quando não temos certeza sobre o quão grande ou pequeno pode ficar o valor da série original. Na nossa questão temos somas no numerador e denominador, causando essa dúvida.
Aqui vamos usar uma série geométrica que sabemos que diverge e calcular o limite, se tivermos nossa resposta maior que 0, saberemos que nossa também vai divergir.
Passo 2
Vamos olhar a nossa questão! Temos a seguinte série:
A ideia para acharmos é pensarmos em séries que conhecemos a divergência ou convergência e que tenham alguns termos “parecidos” com nossa série inicial. Lembra que vamos dividir uma pela outra? Facilita bastante termos parecidos nesse processo.
Essa série pode ser aproximada por uma série igual a:
Essa é uma série geométrica, né? Com , ou seja, ela diverge. Vamos calcular nosso limite:
Passo 3
Montando o limite do teste de comparação de limite, temos:
Aqui temos uma divisão de frações lembra que para dividir frações multiplicamos a primeiro pelo inverso da segunda, né? Então ficaremos com:
Temos aqui uma indeterminação! Vamos aplicar a regra de L’Hospital para melhorar nossa vida!
Lembrando que essa regra só vale para indeterminações do tipo: e .
Só um detalhe aqui: a regra de L’Hospital vale para funções continuas e aqui temos séries com descontinuidades, já que os valores de são só inteiros. Então vamos adaptar nossa série para esse processo e depois voltamos para a variável . Derivando o denominador e o numerador, teremos:
Agora que já usamos L’Hospital, voltamos para nossa variável . Aplicando o limite, temos:
Veja que os termos com no denominador ficam cada vez menores e tendem a 0.
Como a série é uma série geométrica, com ,a série é divergente! Logo, pelo teste de comparação de limite, a série é divergente!
Resposta
A série é divergente!