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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 22

Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 3)^(oo) (n + 2)/((n + 1)^3)

Passo 1

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste da comparação de limite.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida b_n e outra não a_n e então calculamos o seguinte limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = c

Se c for um número finito e c > 0 , ambas as séries convergem ou divergem.

Passo 2

Neste caso a série que queremos comparar é a de termo

a_n = (n + 2)/((n + 1)^3)

Para comparar usaremos a série similar a série que estamos analisando, com um polinômio de primeiro grau no numerador e um polinômio de terceiro grau no denominador

b_n = (n)/(n^3) = (1)/(n^2)

Passo 3

Vamos calcular o limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = underset(n -> oo)(lim) ((n + 2)/((n + 1)^3))/((1)/(n^2))

Fazendo a divisão de frações

= underset(n -> oo)(lim) (n + 2)/((n + 1)^3) * n^2

Colocando n em evidencia no parênteses e no numerador

= underset(n -> oo)(lim) (n (1 + (2)/(n)))/((n (1 + (1)/(n)))^3) * n^2 = underset(n -> oo)(lim) (n^3 (1 + (2)/(n)))/(n^3 (1 + (1)/(n))^3)

Simplificando os n^3

= underset(n -> oo)(lim) ((1 + (2)/(n)))/((1 + (1)/(n))^3) = 1

Como 1 > 0 e a série

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n^2)

É uma série-p com p = 2 que é maior que 1 e converge, nossa série

sum_(n = 1)^(oo) (n + 2)/((n + 1)^3)

Também converge.

Resposta

Converge.

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