1. Determine a solução do problema.

a) d^2x/dt^2 - 9x = 0, x(0) = 1 e x'(0) = -1

Passo 1

Teorema,

  1. s e   λ 1 ≠   λ 2 ,   a   s o l u ç ã o   g e r a l   d a   e q u a ç ã o   h o m o g ê n e a   λ 2 + b λ + c = 0   s e r á  
  2.   x = A e λ 1 t + B e λ 2 t

  3. s e   λ 1 = λ 2 ,   a   s o l u ç ã o   g e r a l   s e r á

x = A e λ 1 t + B t e λ 1 t

Passo 2

aplicando em nossa questão:

d 2 x d t 2 - 9 x = 0 x 0 = 1   e   x ' 0 = - 1

d 2 x d t 2 - 9 x = 0

Transformando no formato λ 2 + b λ + c = 0 ,

λ 2 - 9 = 0  

Passo 3

Resolvendo...

λ 2 - 9 = 0

λ + 3 λ - 3

As raízes dessa equação homogênea são,

λ 1 = - 3 ,     λ 2 = 3

Pelo teorema, λ 1 ≠ λ 2

Então a solução geral da equação,

x = A e - 3 ⋅ t + B e 3 ⋅ t

Passo 4

Agora, precisamos encontrar A e B,

x ' = - 3 A e - 3 t + 3 B e 3 t

Então,

  A e - 3 ⋅ 0 + B e 3 ⋅ 0 = 1 - 3 A e - 3 ⋅ 0 + 3 B e 3 ⋅ 0 = - 1

Ou

A + B = 1 - 3 A + 3 B = - 1

E, portanto, A = 2 3   e   B = 1 3 .   A   s o l u ç ã o   d o   p r o b l e m a   é ,

x = 2 3 e - 3 t + 1 3 e 3 t

Resposta

x = 2 3 e - 3 t + 1 3 e 3 t

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