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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.2 - Ex. 2a

  1. Determine a solução do problema.

a) (d^2 x)/(d t^2) - 9 x = 0 , x (0) = 1 e x^' (0) = - 1

Passo 1

Teorema,

  1. s e lambda_1 != lambda_2 , a s o l u ç ã o g e r a l d a e q u a ç ã o h o m o g ê n e a (lambda^2 + b lambda + c = 0) s e r á

    2. x = A e^(lambda_1 t) + B e^(lambda_2 t)

  2. s e lambda_1 = lambda_2 , a s o l u ç ã o g e r a l s e r á

x = A e^(lambda_1 t) + B t e^(lambda_1 t)

Passo 2

aplicando em nossa questão:

{[[(d^2 x)/(d t^2),-,9,x,=,0],[x,(0),=,1,,e,,x^',(0),=,-,1]])

(d^2 x)/(d t^2) - 9 x = 0

Transformando no formato lambda^2 + b lambda + c = 0 ,

lambda^2 - 9 = 0

Passo 3

Resolvendo...

lambda^2 - 9 = 0

(lambda + 3) (lambda - 3)

As raízes dessa equação homogênea são,

lambda_1 = - 3 , lambda_2 = 3

Pelo teorema, lambda_1 != lambda_2

Então a solução geral da equação,

x = A e^(- 3 * t) + B e^(3 * t)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar A e B,

x^' = - 3 A e^(- 3 t) + 3 B e^(3 t)

Então,

{[[A,e^(- 3 * 0),+,B,e^(3 * 0),=,1],[-,3,A,e^(- 3 * 0),+,3,B,e^(3 * 0),=,-,1]])

Ou

{[[A,+,B,=,1],[-,3,A,+,3,B,=,-,1]])

E, portanto, A = (2)/(3) e B = (1)/(3) . A s o l u ç ã o d o p r o b l e m a é ,

x = (2)/(3) e^(- 3 t) + (1)/(3) e^(3 t)

Resposta

x = (2)/(3) e^(- 3 t) + (1)/(3) e^(3 t)

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