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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.5 - Ex. 1g

Determine a solução

g ) overset(¨)(x) + x = 2 sin t

Passo 1

Primeiramente precisamos lembrar que a solução para esse tipo de equação não homogênea vai sempre ser do tipo:

x (t) = x_h + x_p

Sendo x_h uma solução homogênea e x_p a parte da solução particular.

Para achar o x_h , vamos ter que considerar a equação como sendo homogênea, assim queremos a solução de:

overset(¨)(x) + x = 0

Se usarmos, para esse caso que x = e^(lambda t) -> overset(˙)(x) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(x) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

overset(¨)(x) + x = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) + e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 + 1) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 + 1) = 0 -> lambda^2 + 1 = 0 -> lambda^2 = - 1 -> lambda = +- sqrt(- 1) = +- sqrt(1 i^2) = +- i

Passo 2

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o x pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função lambda^2 + b lambda + c = 0 ), então se lambda_1 e lambda_2 são números complexos podemos afirmar que:

y (t) = e^(alpha t) [A cos beta t + B sin beta t] (A , B ϵ R)

Lembrando que: lambda = alpha +- beta i

Para o nosso caso: alpha = 0 e beta = 1

Assim, substituindo os valores de alpha e beta :

y (t) = e^(0 t) [A cos 1 t + B sin 1 t] = A cos t + B sin t

Passo 3

Agora que temos a parte homogênea vamos procurar a parte particular da equação.

Mas como fazer isso?

Temos os seguintes casos que podem aparecer:

Observação: Se f (t) = a_0 sin alpha t , procede como no caso, f (t) = a_0 cos alpha t

Temos que para esse caso vamos analisar as possibilidades do tipo a_0 sin alpha t , vamos ver se sin alpha t é solução da equação homogênea. Por isso, usaremos x_p = m t cos alpha t + n t sin alpha t = m t sin t + n t cos t :

Para fazer isso, vamos usar que

overset(¨)((m t sin t + n t cos t)) + overset(˙)((m t sin t + n t cos t)) = 2 sin t

overset(˙)((m t sin t + n t cos t)) = m sin t + m t cos t + n cos t - n t sin t

overset(¨)((m t sin t + n t cos t)) = m cos t + m cos t - m t sin t - n sin t - n sin t - n t cos t =

overset(¨)((m t sin t + n t cos t)) = 2 m cos t - m t sin t - 2 n sin t - n t cos t

Agora substituindo:

2 m cos t - m t sin t - 2 n sin t - n t cos t + m t sin t + n t cos t = 2 sin t

cos t (2 m - n t + n t) + sin t (- m t - 2 n + m t) = 2 sin t -> {[[2 m - n t + n t = 0],[- m t - 2 n + m t = 2]])

2 m = 0 e - 2 n = 2 -> m = 0 e n = - 1

Então:

x_p = - 1 t cos t

Passo 4

Substituindo:

x (t) = A cos t + B sin t - t cos t

Resposta

x (t) = A cos t + B sin t - t cos t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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