Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 38
Determine todas as funções possíveis com a derivada
- .
Passo 1
Desejamos encontrar o conjunto de todas as funções cuja derivada seja (a depender da alternativa). Dessa forma, alguns conceitos devem estar claros na nossa mente:
- O primeiro deles é a regra da cadeia que diz que dada uma função composta se quisermos deriva-la vamos precisar fazer ;
- Utilizaremos o corolário que vem como consequência do teorema do valor médio que diz que se encontrarmos uma função tal que para todo valor de x em um intervalo, então, existe uma constante C tal que ;
- Por fim, utilizaremos o fato da derivada da soma/subtração ser a soma/subtração das derivadas
Passo 2
(Letra A)
Tomemos uma função podemos verificar que a derivada dessa função é igual a derivada , essa foi mais tranquila de achar pois a derivada de .
Passo 3
Aplicando o nosso corolário, temos o seguinte:
Devemos nos recordar, agora, que constantes tem derivada igual a zero e que ao acrescentarmos uma constante diferente a nossa obtemos uma função diferente, logo, a função que obtemos a partir desse resultado é a mais geral e capaz de gerar todas as funções cuja derivada é .
Passo 4
(Letra B)
Tomemos uma função podemos verificar que a derivada dessa função é igual a derivada , porém , essa função não foi escolhida aleatoriamente, para ficar mais claro reescrevamos e lembremos da derivação de polinômios (para usá-la no sentido inverso) que diz , assim o que justifica nossa escolha.
Passo 5
Aplicando o nosso corolário, temos o seguinte:
Devemos nos recordar, agora, que constantes tem derivada igual a zero e que ao acrescentarmos uma constante diferente a nossa obtemos uma função diferente, logo, a função que obtemos a partir desse resultado é a mais geral e capaz de gerar todas as funções cuja derivada é .
Passo 6
(Letra C)
Como a derivada da letra C é a subtração das derivadas da letra b e da letra a, pela propriedade que diz que a derivada da subtração é a subtração das derivadas basta concatenarmos os resultados obtidos nas alternativas anteriores.