Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 34.c
Determine todas as funções possíveis com a derivada .
Passo 1
Queremos saber todas as funções cuja derivada é , para isso aplicaremos o raciocínio inverso ao da derivada, aplicando as regras de derivação da maneira inversa, e utilizaremos a propriedade que diz que a derivada da soma é a soma das derivadas.
Passo 2
Se lembrarmos da derivação de polinômios temos que se , então, no nosso caso, pegando a função que nos foi dada no enunciado percebemos que para sua derivada resultar em é porque antes de derivarmos ela tinha expoente 3 para 3x², 2 para o e expoente 1 para o número 1.
Passo 3
Dessa forma, a nossa função inicial tinha uma aparência do tipo . No entanto, como o enunciado quer todas as funções cuja derivada resulta em, devemos lembrar que constantes tem derivada igual a zero e que ao acrescentarmos uma constante diferente a nossa obtemos uma função diferente, logo, para generalizarmos e conseguirmos todas as funções cuja derivada é , tomemos , sendo C uma constante numérica.