Determine todas as funções possíveis com a derivada y' = 5 + 1 / x^2 .

Passo 1

Queremos saber todas as funções cuja derivada é 5 + 1 x 2 , para isso aplicaremos o raciocínio inverso ao da derivada, aplicando as regras de derivação da maneira inversa e utilizaremos a propriedade que diz que a derivada da soma é a soma das derivadas.

Passo 2

Podemos reescrever y ' como sendo y ' =   5 + x - 2 para ficar mais simples de trabalhar utilizando regras de derivação mais tranquilas. Se lembrarmos da derivação de polinômios temos que se f x = x n → f ' x = n * x n - 1 , então, no nosso caso, pegando a função que nos foi dada no enunciado percebemos que para sua derivada resultar em 5 + x - 2 é porque antes de derivarmos ela tinha expoente 1 para o número 5 e expoente -1 para + x - 2 .

Passo 3

Dessa forma, a nossa função inicial tinha uma aparência do tipo f x = 5 x - 1 x . No entanto, como o enunciado quer todas as funções cuja derivada resulta em 5 + 1 x 2 , devemos lembrar que constantes tem derivada igual a zero e que ao acrescentarmos uma constante diferente a nossa f ( x ) obtemos uma função diferente, logo, para generalizarmos e conseguirmos todas as funções cuja derivada é 5 + 1 x 2 , tomemos f x = 5 x - 1 x + C , sendo C uma constante numérica.

Resposta

∴ f x = 5 x - 1 x + C

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