Enunciado

Determine os valores das constantes a ,   b e c , de modo que o gráfico de y = x 2 + a ( b x + c )   tenha um mínimo local em x = 3 , um mínimo local em - 1 , - 2 .

Passo 1

Primeiramente, para encontrar os pontos críticos vamos calcular a derivada primeira.

y ' = 2 x b x + c - b x 2 + a b x + c 2

O ponto mínimo local em x = 3 resulta numa derivada primeira igual a zero.

y ' 3 = 6 3 b + c - b 9 + a 3 b + c 2 = 0 → 18 b + 6 c - 9 b - b a = 0 → 9 b - b a + 6 c = 0   ( 1 )

Passo 2

Sabendo que o ponto ( - 1 , - 2 ) pertence a função, temos:

- 1 2 + a ( b - 1 + c = - 2 → 4 b - 2 c = 1 + a → a - 4 b + 2 c = - 1     ( 2 )

E o ponto mínimo em x = - 1 resulta em uma derivada primeira igual a zero.

y ' - 1 =   - 2 - b + c - b 1 + a - b + c 2 = 0 → 2 b - 2 c - b - b a = 0 → b - b a - 2 c = 0   ( 3 )

Juntando (1), (2), (3) e encontramos:

a = 3   ; b = 1   e   c = - 1

Resposta

a = 3   ; b = 1   e   c = - 1

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