Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.3 - Ex. 28
Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas.
se ,
se ,
,
,
se
se
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão pediu pra gente esboçar o gráfico de uma função que satisfaça a algumas condições.
Vamos analisar cada uma dessas condições e entender como elas influenciam no gráfico da nossa função.
se ,
Nessa condição estamos falando de uma região onde a reta tangente possui inclinação positiva. Sendo assim, teremos uma função crescente nesses interevalos sitados.
se ,
Aqui temos o caso contrário, regiões onde a derivada é negativa indicarão uma região onde a função é decrescente.
,
Essa condição fala que nesses pontos a derivda tem que ser igual a zero. Então devemos lembrar que a derivada é igual a inclinação da reta tangente ao gráfico da função.
Isso significa que teremos um ponto de máximo ou mínimo da função nesses lugares.
,
Isso nos dia que se tende ao infinito a função tende a . Logo, temos uma assíntota horizontal no ponto .
Quer dizer que temos uma função ímpar. Ou seja ela é refletida de maneira invertida em relação ao eixo .
E para
se
se
A derivada segunda ajuda a gente a classificar os pontos críticos de acordo com a concavidade da função na região. Veja:
Prontinho. Agora que já sabemos como cada condição infuencia no gráfico, vamos ver como fica nossa resolução.
Passo 2
Como se então é crescente para valores de entre e .
Como se então é decrescente para valores de menores que ou maiores que .
Se então possui reta tangente horizontal em .
Passo 3
Como então à medida que vai para o infinito, converge para 1.
Como então é um função ímpar, tendo simetria inversa em relação à origem.
Passo 4
Como se então possui concavidade para baixo em valores de entre e
Como se então possui concavidade para cima para valores de maiores que .
Passo 5
Desse modo, temos o gráfico:
Resposta
