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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.2 - Ex. 60

Devido a sua conexão com retas secante, tangente e taxas instantâneas, os limites da forma

lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Ocorrem com frequência em cálculo. Nos exercícios 57-62, avalie esse limite para os valores dados de x e a função f

f x = 1 x ,   x = - 2

Passo 1

Como x = - 2 , vamos achar as expressões de f ( - 2 + h ) e de f ( - 2 ) . Depois vamos montar o limite e o resolver.

Passo 2

Como f x = 1 x , temos que

f - 2 = 1 - 2 = - 1 2

f - 2 + h = 1 - 2 + h

Passo 3

Vamos montar o limite, seguindo a fórmula do enunciado

lim h → 0 ⁡ 1 - 2 + h - - 1 2 h = lim h → 0 ⁡ 1 - 2 + h + 1 2 h

Passo 4

Agora vamos tentar resolver o limite. A primeira coisa que devemos tentar é substituir direto e ver se vai dar um número

lim h → 0 ⁡ 1 - 2 + h + 1 2 h = 1 - 2 + 0 + 1 2 0 = 0 0

Vamos manipular o limite. Vamos colocar todos os termos no mesmo denominador alí no numerador ficando com

1 - 2 + h + 1 2 = 2 + ( - 2 + h ) 2 ( - 2 + h ) = h 2 ( - 2 + h )

Logo,

lim h → 0 ⁡ 1 - 2 + h - - 1 2 h = lim h → 0 ⁡ h 2 ( - 2 + h ) h = lim h → 0 ⁡ 1 h ⋅ h 2 ( - 2 + h ) = lim h → 0 ⁡ 1 2 ( - 2 + h )

Agora sim substituindo, temos

lim h → 0 ⁡ 1 2 ( - 2 + h ) = 1 2 - 2 + 0 = - 1 4

Resposta

- 1 4

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Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,aeL , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ0 para o ϵ dado, tal que se 0x - aδ então f x - Lϵ
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