Differential equations have been used extensively in the study of drug dissolution for patients given oral medications. One such equation is the Weibull equation for the concentration C(T) of the drug:

dc / dt = k / t^b (c_s - c)

where k and c_s are positive constants and 0 < b < 1 . Verify that

c(t) = c_s(1 - e^(-αt^(1 - b)))

is a solution of the Weibull equation for t > 0, where α = k / (1 - b) . What does the differential equation say about how drug dissolution occurs?

Passo 1

Bem precisamos antes de tudo manipular essa equação. Ela está escrita de um jeito não pratico

d c d t = k t b ( c s - c )

E sabendo que

c t =   c s ( 1 -   e - α t 1 - b )

Então podemos escrever que

d c d t = k t b c s - c s 1 -   e - α t 1 - b

d c d t = k t b c s 1 - 1 +   e - α t 1 - b

d c d t = k t b c s   e - α t 1 - b

Agora sim, podemos fazer a derivada de C

c t =   c s ( 1 -   e - α t 1 - b )

d c d t = C s -   e - α t 1 - b *   - α 1 - b * t - b

Podemos usar que

α = k 1 - b

Então nossa conta fica

d c d t = C s e - α t 1 - b * k 1 - b 1 - b * t - b

d c d t = c s k t b   e - α t 1 - b

Que é exatamente nossa Equação do enunciado. Então acabamos de provar que é realmente solução.

Passo 2

Agora para ajudar a gente a analisar essa equação podemos fazer o seguinte. Plotar o gráfico de C

A curva C em verde é nossa concentração. A vermelha é nossa assíntota que é nosso valor de C s . Podemos dizer que A concentração da droga chega a seu valor máximo muito rápido devido a função exponencial. E que conforme k for aumentando, mais rápido essa concentração satura. Nesse gráfico acima usei k = 1 . Se mudarmos para k = 3   temos

Prontinho Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução : )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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