Em cada um dos problemas de 26 a 33, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de y quando t → infinito . Se esse comportamento depender do valor inicial de y em t = 0, descreva essa dependência. Note que a expressão à direita do sinal de igualdade nessas equações depende de t , além de y ; portanto,suas soluções podem exibir um comportamento mais complicado do que as no texto

y' = 1/6 * y^3 - y - 1/3 * t^2

Passo 1

Campos de direções são ferramentas valiosas no estudo de soluções de equações diferenciais da forma

d y d t = f t , y

Em que f é uma função dada de duas variáveis, t   e   y , algumas vezes chamada de função taxa. Um campo de direções pode ser constuido calculando f em cada ponto de uma malha retangular. Em cada ponto da malha desenha-se um pequeno segmento de reta cujo coeficiente angular é o valor da função f naquele ponto.

Um campo de direções fornece uma boa ideia do comportamento global das soluções de uma equação diferencial.

Passo 2

Agora, vamos caluclar para alguns pontos aleatórios e depois plotar o nosso campo

De modo que nosso gráfico tem a seguinte cara

Passo 3

Portanto, ao observarmos o gráfico, vemos que ou ele tende a - ∞   o u   ∞   quando t tende ao infinito.

Resposta

y → ∞   o u - ∞ .     q u a n d o   t → ∞

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