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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 29

Efetue a antidiferenciação:

int c o s x (2 + s e n x)^5 d x

Passo 1

Queremos calcular a integral:

int c o s x (2 + s e n x)^5 d x

Vamos chamar essa integral de I daqui pra frente, beleza? Bora lá, qual é o primeiro passo? Botar o que é constante pra fora, mas como não tem nada, vamos direto pra substituição marota. A parte mais feia é o 2 + s e n x com essa potência horrível, então vamos usar substituição nela!

u = 2 + s e n x

Derivando,

d u = c o s x d x

d x = (d u)/(c o s x)

Substituindo isso na integral:

I = int c o s x xx u^5 xx (d u)/(c o s x)

Cortando o c o s x :

I = int u^5 d u

Passo 2

Isso aí a gente sabe integrar tranquilamente! Integral de polinômio é melzinho na chupeta.

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C , n != - 1

Então vai ficar:

I = (u^6)/(6) + C

Voltando pra variável original:

I = ((s e n x + 2)^6)/(6) + C

Fechou!

Resposta

I = ((s e n x + 2)^6)/(6) + C

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