Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 46
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular a integral
Passo 1
Vamos começar nossa questão por relembrar o Teorema 7 – Substituição em integrais definidas. Se for contínua no intervalo e fr contínua na imagem de , então
A ideia por trás deste teorema é encontrarmos uma função para que transformemos a nossa integral difícil em algo bem fácil! Inicialmente parece ser difícil visualizar uma boa mudança, mas com o decorrer das questões você verá que isto é bem simples!
Vamos optar por resolver a integral indefinida primeiramente. Após obtermos a primitiva da função, basta substituir os limites de integração conforme o teorema fundamental do cálculo.
Passo 2
Vamos começar reorganizando a nossa função.
Agora, vamos fazer uma mudança de variável. Se fizermos , temos . Fazendo esta substituição na integral, teremos:
Passo 3
Agora chegamos a uma integral que, a princípio, não conseguimos calcular. Entretanto, nós já obtivemos este integrando a partir da derivada de uma função. Lembram desta função? Ela é, nada mais e nada menos que a função , uma função trigonométrica inversa que já estudamos anteriormente. Desta forma, temos a seguinte derivada:
Logo, acabamos de verificar que a primitiva da nossa função é . Sendo assim,
Cuidado para não esquecerem da constante , afinal, a integral resolvida acima foi uma integral indefinida! Agora, só precisamos voltar para a nossa variável inicial . Como a mudança que fizemos foi , temos:
Passo 4
Após obtemos o valor da integral indefinida, para fazermos os cálculos da integral definida, é só esquecermos a existência da constante ! Portanto, temos:
Logo,