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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 114

Calcule a integral:

int (sin x)/(sin x + cos x) d x

Passo 1

Galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração e estratégias para resolver a integral. Então vamos resolver da seguinte maneira . Então primeiro reescrever o integrando:

(sin x)/(sin x + cos x) = (sin x ( sin x ) - cos x)/(sin^2 x - cos^2 x)

Passo 2

Agora, vamos integrar:

int (sin x ( sin x ) - cos x)/(sin^2 x - cos^2 x) d x

Lembre aqui o seguinte: cos^2 x - sin^2 x = cos 2 x . Sabendo disso, vamos reescrever a integra e colando - 1 para frente da integral:

- int (sin x ( - cos x + sin x ))/(cos 2 x) d x

= - int - (sin x cos x)/(cos 2 x) + (sin^2 x)/(cos 2 x) d x

= - (- int (sin x cos x)/(cos 2 x) d x + int (sin^2 x)/(cos 2 x) d x)

= - (1)/(4) ln |cos 2 x| - (1)/(4) ln |tan 2 x + sec 2 x| + (1)/(2) x + C

Resposta

= - (1)/(4) ln |cos 2 x| - (1)/(4) ln |tan 2 x + sec 2 x| + (1)/(2) x + C

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