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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 24

Efetue a antidiferenciação:

int (1)/(2) t c o s 4 t^2 d t

Passo 1

Queremos calcular a integral:

int (1)/(2) t c o s 4 t^2 d t

Vou chamar essa belezura de I daqui pra frente. Bora lá, qual é o primeiro passo? Botar o que é constante pra fora. Então vamos tirar esse (1)/(2) daí de dentro:

I = int (1)/(2) t c o s 4 t^2 d t = (1)/(2) int t c o s 4 t^2 d t

Passo 2

A próxima coisa é tentar uma substituição esperta. Vamos tentar alguma coisa com esse 4 t^2 , porque isso aí dentro do cosseno fica chato!

u = 4 t^2

Derivando,

d u = 8 t d t

d t = (d u)/(8 t)

Vamos substituir isso!

I = (1)/(2) int t c o s ( u ) (d u)/(8 t)

Aí corta esse t e bota o 8 pra fora:

I = (1)/(16) int c o s (u) d u

Passo 3

Isso aí a gente sabe integrar tranquilamente!

I = (1)/(16) (s e n (u)) + C

Voltando pra variável original:

I = (1)/(16) s e n (4 t^2) + C

Fechou!

Resposta

I = (1)/(16) s e n (4 t^2) + C

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