Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 37
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular a integral
Passo 1
Vamos começar nossa questão por relembrar o Teorema 7 – Substituição em integrais definidas. Se for contínua no intervalo e fr contínua na imagem de , então
A ideia por trás deste teorema é encontrarmos uma função para que transformemos a nossa integral difícil em algo bem fácil! Inicialmente parece ser difícil visualizar uma boa mudança, mas com o decorrer das questões você verá que isto é bem simples!
Vamos optar por resolver a integral indefinida primeiramente. Após obtermos a primitiva da função, basta substituir os limites de integração conforme o teorema fundamental do cálculo.
Passo 2
Vamos fazer a nossa primeira substituição. Para isto, fazemos . Consequentemente, temos que . Se analisarmos apenas a integral indefinida, temos:
Passo 3
A integral que obtemos no Passo anterior é a de uma batida. Vocês a verão diversas e diversas vezes, principalmente quando estudarem a técnica de resolução de integrais por frações parciais! Mas, por enquanto, vamos precisar relembrar da função , a função arco tangente. Se vocês não se recordam, a derivada desta função é:
E não é que o resultado é a função que precisamos integrar! Portanto, a primitiva da nossa função é a função . Logo,
Muita calma nessa hora! Não podemos esquecer da constante , já que a integral que foi resolvida é uma integral indefinida. Vamos voltar para a nossa variável . Temos então:
Passo 4
Após obtemos o valor da integral indefinida, para fazermos os cálculos da integral definida, é só esquecermos a existência da constante ! Portanto, temos:
Logo,