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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 129

Encontrar os máximos e mínimos absolutos da função y = x ln ⁡ 2 x - x no intervalo 1 2 e , e 2 .

Passo 1

Os “candidatos” a máximo e mínimo absolutos são os limites do intervalo e raízes da primeira derivada. Fazendo primeiro os limites do intervalo:

x = 1 2 e ⇒ y = 1 2 e ln ⁡ 2 ∙ 1 2 e - 1 2 e ⇒ y = - 1 e

x = e 2 ⇒ y = e 2 ln ⁡ 2 ∙ e 2 - e 2 ⇒ y = 0

Passo 2

Para achar as raízes da primeira derivada, fazemos:

y ' = ln ⁡ 2 x + x ∙ 1 2 x ∙ 2 - 1 = 0 ⇒ ln ⁡ 2 x = 0 ⇒ 2 x = 1 ⇒ x = 1 2

Passo 3

É preciso saber se essa raiz é ponto de máximo, de mínimo ou de inflexão. Para isso, substituímos o seu valor na segunda derivada da função:

y ' ' = ln ⁡ 2 x ' = 1 2 x ∙ 2 = 1 x

x = 1 2 ⇒ y ' ' = 1 1 2 ⇒ y ' ' = 2 > 0

Portanto, x = 1 2 é ponto de mínimo local e “candidato” a ponto de mínimo absoluto.

Passo 4

Substituímos esse “candidato” na função:

x = 1 2 ⇒ y = 1 2 ln ⁡ 2 ∙ 1 2 - 1 2 ⇒ y = - 1 2

Passo 5

Portanto, como o mínimo local x = 1 2 encontrado é menor que os dois limites do intervalo domínio, ele será o mínimo absoluto. Por outro lado, dentre os “candidatos” a máximo absoluto, o maior é aquele em que x = e 2 .

Resposta

Mínimo absoluto:

1 2 , - 1 2

Máximo absoluto:

e 2 , 0

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