Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.3 - Ex. 37
(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
Passo 1
E aí! como vai?
Nesse problema foi dada a função
e nosso objetivo é encontrar os intervalos onde a função é crescente e decrescente, os valores de máximos e mínimos, os intervalos de concavidade, os pontos de inflexão e esboçar o gráfico da função.
Bastante coisa, não é?
Para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento da função, vamos calcular sua derivada e como a inclinação da função está relacionada diretamente com sua derivada, quando a função é crescente e quando a função é decrescente.
Para calcular os máximos e mínimo vamos calcular os pontos críticos fazendo e a partir da analise dos intervalos de crescimento e decrescimento podemos dizer qual é máximo e qual é mínimo.
Os intervalos de concavidade são obtidos pela segunda derivada da função... quando a concavidade é para cima e quando a concavidade é para baixo.
Já os pontos de inflexão são obtidos onde .
Bora começar!
Passo 2
Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa.
Portanto, para avaliar os intervalos onde é crescente ou decrescente, vamos obter a derivada de e analisar o seu sinal:
Estudando o sinal de , podemos perceber que o sinal muda em e em , ou seja analisando cada termo de temos:
Portanto, é decrescente para valores de no intervalo e crescente nos intervalos e .
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Os pontos onde a derivada é zero, pontos críticos são:
ou ou
Como cresce até e continua crescendo a partir dele então não é mínimo nem máximo local.
Como ℎ cresce até e decresce a partir dele, então é máximo local.
Como decresce até e cresce a partir dele, é ponto de mínimo local.
Show?
Passo 4
A concavidade de uma função é indicada pelo sinal da derivada segunda.
Quando a derivada segunda é positiva, a função possui concavidade voltada para cima e quando a derivada segunda é negativa, a função possui concavidade voltada para baixo.
Então devemos obter a derivada segunda e estudar o seu sinal:
Estudando o sinal de temos:
Portanto, possui concavidade para baixo em valores de nos intervalos e e concavidade para cima para valores de no intervalo e .
Podemos aproveitar e calcular os pontos de inflexão fazendo
Como a função já está fatorada, podemos perceber que os pontos de inflexão são , e .
Estamos quase no fim!
Passo 5
Com as informações obtidas, temos que e são pontos de máximos e mínimos respectivamente, é um ponto de inflexão, a função possui concavidade para baixo nos intervalos e e concavidade para cima nos intervalos e .
Assim, podemos esboçar o gráfico de como:
E aí! o que achou? Responde Aí!
Resposta
(a) é decrescente para valores de no intervalo e crescente nos intervalos e .
(b) é máximo local e é ponto de mínimo local.
(c) possui concavidade para baixo em valores de nos intervalos e e concavidade para cima para valores de no intervalo e . E os pontos de inflexão são , e .
(d)
