Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.6 - Ex. 36
(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
Passo 1
E aí! como vai?
Nesse problema foi dada a função
Nosso objetivo é encontrar os intervalos onde a função é crescente e decrescente, os valores de máximos e mínimos, os intervalos de concavidade, os pontos de inflexão e esboçar o gráfico da função a partir das informações que obtemos.
Bastante coisa, não é?
Para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento da função, vamos calcular sua derivada e como a inclinação da função está relacionada diretamente com sua derivada, quando a função é crescente e quando a função é decrescente.
Para calcular os máximos e mínimo vamos calcular os pontos críticos fazendo e a partir da análise dos intervalos de crescimento e decrescimento podemos dizer qual é máximo e qual é mínimo ou podemos usar o teste da segunda derivada... substituindo os pontos críticos em , se , o ponto é de mínimo, se , o ponto é de máximo.
Os intervalos de concavidade são obtidos pela segunda derivada da função... quando a concavidade é para cima e quando a concavidade é para baixo.
Já os pontos de inflexão são obtidos onde .
Bora começar!
Passo 2
Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa.
Portanto, para avaliar os intervalos onde é crescente ou decrescente, vamos obter a derivada a partir da regra da potencia e analisar o seu sinal:
Derivando:
Estudando o sinal de cada termo dessa função, temos a tabela
Portanto, é decrescente para valores de no intervalo e crescente no intervalo .
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Os pontos onde a derivada é zero, pontos críticos são:
ou
Lembra do passo anterior que é decrescente até e crescente a partir dele?
Como cresce até e continua crescendo a partir dele então não é mínimo nem máximo local.
Como decresce até e cresce a partir dele, é ponto de mínimo local.
Show?
Passo 4
A concavidade de uma função é indicada pelo sinal da derivada segunda.
Então devemos obter a derivada segunda pela regra da potência e estudar o seu sinal:
Derivando:
Estudando o sinal dos termos de , temos:
Portanto, possui concavidade para baixo em valores de no intervalo e concavidade para cima para valores de no intervalo e .
Aproveitando a segunda derivada os pontos de inflexão são definidos quando , ou seja
E isso acontece em e .
Estamos quase no fim!
Passo 5
Com as informações obtidas até aqui, podemos esboçar o gráfico de :
Temos um ponto de mínimo em e um ponto de inflexão em .
tem concavidade positiva em e em e concavidade negativa em .
é decrescente até e crescente a partir desse ponto.
A partir dessas informações, podemos esboçar o gráfico de como:
E aí! entendeu tudo? Responde Aí!
Resposta
(a) é decrescente para valores de no intervalo e crescente no intervalo .
(b) é ponto de mínimo local.
(c) possui concavidade para baixo em valores de no intervalo e concavidade para cima para valores de no intervalo e . E os pontos de inflexão são e .
(d)
