Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 51
- Encontre as assíntotas verticais e horizontais.
- Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
- Encontre os valores máximos e mínimos locais.
- Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
- Use a informação das partes (a) – (d) pra esboçar o gráfico de .
Passo 1
Fala aí, tudo belezinha com você?
Bom, essa questão dá pra gente a função
E teremos que dizer algumas coisas sobre ela.
No item (a) teremos que encontrar as assíntotas vertical e horizontal, e para isso temos que lembrar do que diz a teoria sobre as assíntotas:
Uma assíntota horizontal é uma reta horizontal de onde a função se aproxima quando tende para . Para encontrarmos essa reta
Já para acharmos as assíntotas verticais, basta acharmos os pontos tais que:
No item (b), precisamos encontrar os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
Para saber isso podemos usar as informações dadas pela derivada da função, pois ela representa a inclinação da reta tangente ao gráfico da função. Assim, se
Significa que a função é crescente, já que a reta tangente tem derivada positiva. E se
A função é decrescente, já que a derivada é negativa.
No item (c), queremos encontrar os valores de máximo e mínimo locais.
Para isso também usamos a ideia dada pela inclinação da reta tangente. Ou seja, a derivada. Assim:
Teremos um ponto de máximo ou mínimo da função, já que a inclinação da reta tangente será nula.
No item (d) vamos encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
E aqui faremos uso da derivada segunda. Sabendo que se:
Nossa curva terá concavidade para baixo.
E se
E nossa curva terá concavidade para cima.
E finalmente, no item (e) vamos usar as informações das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de .
Agora que já sabemos o que fazer em cada item, vem comigo que te mostro como vai ficar tudo isso.
Passo 2
Vamos resolver por ordem dos itens, beleza?
No item a) precisamos achar as assíntotas, então vamos calcular os limites.
Para encontrar a assíntota horizontal, precisamos verificar o comportamento da nossa função tende a mais ou menos infinito. Assim, temos para :
Como não tem nenhuma restrição, podemos apenas aplicar o limite, para obter:
Então, aqui não temos assíntota horizontal. Agora vamos calcular para tendendo a mais infinito:
Multiplicando pelo conjugado de , vamos ter:
Simplificando:
E aplicando o limite:
Como esse limite resultou em um valor finito, zero, temos que é uma assíntota horizontal da função.
Para encontrar assíntotas verticais, nós teríamos que encontrar valores para os quais a nossa função não está definida e calcular os limites laterais tendendo para esses valores. Mas, como temos uma função polinomial, que é definida para todos os valores de , a função não possui assíntotas verticais.
Passo 3
Vamos resolver o item b) agora.
No item b) precisamos achar onde cresce ou decresce, mas pra isso precisamos da derivada e dos pontos críticos, então vamos encontra-los.
Derivando , usando a regra do produto, temos que:
Agora precisamos achar nossos candidatos a máximo e mínimo, que são nossos pontos críticos. Igualando o resultado dessa derivada a zero:
Multiplicando os dois lados da equação por :
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Repare que essa equação não possui solução real. Portanto, podemos dizer que a função não possui pontos críticos e, consequentemente, não possui pontos de máximo ou mínimo (isso já responde o nosso item (c)). A função será, então, sempre decrescente.
Passo 4
Agora para encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão, vamos calcular a segunda derivada da função.
Usando a regra do quociente, temos que:
Arrumando as contas,
Perceba que não temos candidatos a ponto de inflexão, porque não existe solução para . Além disso, temos uma expressão que será sempre positiva, . Isso significa que a nossa função será sempre côncava para cima.
Passo 5
Agora só falta a gente esboçar o gráfico dessa função, com todas as informações que encontramos. Olha só como fica:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉