Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.1 - Ex. 40
a) A figura mostra um fio de telefone pendurado entre dois postes em e . Este tem o formato de uma catenária com a equação . Calcule o comprimento do fio.
b) Suponha que os dois postes telefônicos estejam separados a uma distância de m e que o comprimento do fio entre os postes seja de m. Se o ponto mais baixo do fio deve estar m acima do solo, a qual altura o fio deve ser preso no poste?
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o comprimento do fio que vai de até , e é descrito pela equação:
Depois disso, a gente precisa calcular a altura que o fio está preso, sabendo que a distância entre os postes é de metros, que o comprimento do fio é de m e que o ponto mais baixo dele deve estar a metros acima do solo.
Então, no item (a) devemos achar uma expressão para o comprimento do fio, que será dada pela integral
Dessa forma, vamos derivar a nossa função e substituir na fórmula para calcular a integral. Em seguida, no item (b), vamos fazer e para encontrar o valor de na derivada da função. Com esse valor, vamos fazer e para obter a altura do fio.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando a nossa função. Assim, usando a regra da cadeia, temos:
Agora elevando esse resultado ao quadrado e somando , pra ficar igual ao integrando da nossa fórmula, vamos ter:
E calculando a raiz dos dois lados, obtemos:
Passo 3
Desta forma, substituindo na integral, ficamos com:
Integrando em relação a :
Aplicando os limites de integração, obtemos:
Passo 4
Para o item (b), temos que e , logo . Vamos usar essas informações para achar , através da derivada :
Resolvendo essa equação com uma calculadora gráfica, obtemos:
Para , devemos ter , porque ponto mais baixo do fio deve estar m acima do solo. Assim, usando e o valor de calculado, temos:
Portanto,
E como , temos:
Para achar a que altura o fio deve ser preso no poste, fazemos na equação de :
Então, substituindo as constantes:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
a)
b)