Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de , determinando o seguinte:

Os extremos relativos de ;

Os pontos de inflexão do gráfico de ;

Os intervalos em que é crescente

Os intervalos em que é decrescente;

Onde o gráfico é côncavo para cima;

Onde o gráfico é côncavo para baixo;

A inclinação de qualquer tangente de inflexão;

As assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem

Nosso numerador é

Só temos um termo ali, não precisa colocar nada em evidência

Nosso denominador é

Colocando em evidência, vamos ter:

Agora vamos aos limites. Primeiro:

Vai ficar:

Então não temos assíntota horizontal desse lado.

O outro vai ser:

Vai ficar:

Então não temos assíntota horizontal desse lado.

Agora vamos para as assíntotas oblíquas. Só vamos fazer essas assíntotas se não existirem as horizontais. Elas substituem as horizontais por cada lado.

Se as assíntotas horizontais não existirem, talvez existir a oblíqua. Para isso, devemos achar os coeficientes e de que é a equação da assíntota obliqua.

Para isso, devemos fazer

Se esse valor existir, aí fazemos

Mesma coisa para o

Se esse valor existir, aí fazemos

Para acharmos a derivada, vamos usar a regra do quociente:

Nosso numerador é

Colocando o em evidência:

Nosso denominador é

Colocando em evidência, vamos ter:

Agora vamos aos limites. Primeiro:

Vai ficar:

Então temos assíntota oblíqua desse lado.

Vamos achar o valor de

Colocando os valores:

Usando a fatoração do

A assíntota oblíqua para vai ser:

O outro vai ser:

Vai ficar:

Vamos achar o valor de

Colocando os valores:

Usando a fatoração do

A assíntota oblíqua para vai ser:

Vamos para as verticais. Para isso, temos que procurar algum valor de que faça o limite ir para . Normalmente procuramos quando o denominador da fração for . Que vai ser o nosso

Que já achamos. Precisamos analisar a assíntota antes e depois do para ver se de fato temos assíntotas verticais.

E

E

E

Opa, deu um número divido por , então ele vai dar , é uma assíntota vertical. Cabe agora descobrir o sinal para o esboço do gráfico.

O nosso numerador vai ser , quando estiver perto de , ele vai ser , o que faz com que ele seja negativo

Nosso denominador vai ter se aproximando de por valores maiores que . Isso porque se aproxima de por valores maiores que , seria tipo e por aí vai.

Quando elevamos ao quadrado, esse valor fica menor que por conta do sinal. Entao é negativo.

A nossa fração será positivo, então

Então

É assíntota vertical

Opa, deu um número divido por , então ele vai dar , é uma assíntota vertical. Cabe agora descobrir o sinal para o esboço do gráfico.

O nosso numerador vai ser , quando estiver perto de , ele vai ser , o que faz com que ele seja negativo

Nosso denominador vai ter se aproximando de por valores menores que . Isso porque se aproxima de por valores menores que , seria tipo e por aí vai.

Quando elevamos ao quadrado, esse valor fica maior que por conta do sinal. Entao é positivo.

A nossa fração será negativa, então

Então

É assíntota vertical

Opa, deu um número divido por , então ele vai dar , é uma assíntota vertical. Cabe agora descobrir o sinal para o esboço do gráfico.

O nosso numerador vai ser , quando estiver perto de , ele vai ser , o que faz com que ele seja positivo

Nosso denominador vai ter se aproximando de por valores maiores que . Isso porque se aproxima de por valores maiores que

Quando elevamos ao quadrado, esse valor fica maior que . Entao é positivo.

A nossa fração será positivo, então

Então

É assíntota vertical

Opa, deu um número divido por , então ele vai dar , é uma assíntota vertical. Cabe agora descobrir o sinal para o esboço do gráfico.

O nosso numerador vai ser , quando estiver perto de , ele vai ser , o que faz com que ele seja positivo

Nosso denominador vai ter se aproximando de por valores menores que . Isso porque se aproxima de por valores menores que

Quando elevamos ao quadrado, esse valor fica menor que . Entao é negativo.

A nossa fração será negativa, então

Então

É assíntota vertical

Vamos aos extremos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar o sinal de .

Colocando em evidência

Como o denominador é sempre positivo e tambem, basta olharmos o sinal de , que é uma função de grau.

Entre as raízes, vamos ter a derivada negativa, e antes ou depois ela vai ser positiva.

Vamos achar as raízes:

Assim:

Mas porque separamos no e ? Lembra lá no inicio que vimos que ele não está na função? Então de lá para frente devemos tirá-lo da conta de tudo, menos assíntota vertical.

A função é crescente se e decrescente se , então:

Agora vamos ver os extremos. Pelo teste da primeira derivada, teremos máximo quando a função vai de crescente para decrescente, e mínimo quando a função for de decrescente para crescente.

Pelos intervalos do passo anterior, vamos ter

Vamos agora para a concavidade e os pontos de inflexão. A função é côncava para cima se e côncava para baixo se .

O ponto vai ser de inflexão quando muda a concavidade.

Para acharmos a derivada, vamos usar a regra do quociente:

Colocando em evidência no numerador:

Simplificando

Colocando em evidência:

O sinal depende só de , vamos montar o quadro de sinais:

Assim

Então:

Isso também nos diria que e é ponto de inflexão, mas ele não está na função. Mas vai ser ponto de inflexão

Assintota oblíquoa:

Assíntotas verticais:

Onde , , e ,

Onde , , e ,

ponto de inflexão

Tangente de inflexão:

O gráfico vai ficar: