Enunciado

Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:

Os extremos relativos de f ;

Os pontos de inflexão do gráfico de f ;

Os intervalos em que f é crescente

Os intervalos em que f é decrescente;

Onde o gráfico é côncavo para cima;

Onde o gráfico é côncavo para baixo;

A inclinação de qualquer tangente de inflexão;

As assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem

f x = x 3 x 2 - 1

Passo 1

Primeiramente, vamos observar que essa função é racional. Então quando o denominador for 0 , esse número não estará na função

x 2 - 1 = 0

x = ± 1

Isso é importante porque, fora na assíntota vertical, não vamos ter nada rolando nesse ponto. Temos sempre que tirá-lo das análises.

Agora olharando as assíntotas:

Vamos começar pela assíntota horizontal.

Assíntota horizontal: fazer o limite no infinito. Ou seja,

lim x → + ∞ ⁡ f x

lim x → - ∞ ⁡ f x

Vamos calcular esses limites. Como temos um polinômio, temos que fazer aquele passo a passo para fração de polinômios, só que para aquela expressão só. Vamos ver como vai ficar isso.

Passo 2

Nosso numerador é

x 3

Só temos um termo ali, não precisa colocar nada em evidência

Passo 3

Nosso denominador é

x 2 - 1

Colocando x 2 em evidência, vamos ter:

x 2 1 - 1 x 2

Passo 4

Agora vamos aos limites. Primeiro:

lim x → + ∞ ⁡ f x

Vai ficar:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 x 2 - 1 = lim x → + ∞ ⁡ x 3 x 2 1 - 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ x 1 - 1 x 2 = + ∞ 1 - 0 = + ∞ 1 = + ∞

Então não temos assíntota horizontal desse lado.

Passo 5

O outro vai ser:

lim x → - ∞ ⁡ f x

Vai ficar:

lim x → - ∞ ⁡ x 3 x 2 - 1 = lim x → - ∞ ⁡ x 3 x 2 1 - 1 x 2 = lim x → - ∞ ⁡ x 1 - 1 x 2 = - ∞ 1 - 0 = - ∞ 1 = - ∞

Então não temos assíntota horizontal desse lado.

Passo 6

Agora vamos para as assíntotas oblíquas. Só vamos fazer essas assíntotas se não existirem as horizontais. Elas substituem as horizontais por cada lado.

Se as assíntotas horizontais não existirem, talvez existir a oblíqua. Para isso, devemos achar os coeficientes a e b de y = a x + b que é a equação da assíntota obliqua.

Para isso, devemos fazer

a = lim x → + ∞ ⁡ f ' x

Se esse valor existir, aí fazemos

b = lim x → + ∞ ⁡ f x - a x

Mesma coisa para o - ∞

a = lim x → - ∞ ⁡ f ' x

Se esse valor existir, aí fazemos

b = lim x → - ∞ ⁡ f x - a x

Passo 7

Para acharmos a derivada, vamos usar a regra do quociente:

f ' x = x 3 ' x 2 - 1 - x 3 x 2 - 1 ' x 2 - 1 2

f ' x = 3 x 2 x 2 - 1 - x 3 2 x x 2 - 1 2

f ' x = 3 x 4 - 3 x 2 - 2 x 4 x 2 - 1 2

f ' x = x 4 - 3 x 2 x 2 - 1 2

Passo 8

Nosso numerador é

x 4 - 3 x 2

Colocando o x 4 em evidência:

x 4 1 - 3 x 2

Passo 9

Nosso denominador é

x 2 - 1 2

Colocando x 2 em evidência, vamos ter:

x 2 1 - 1 x 2 2 = x 4 1 - 1 x 2 2

Passo 10

Agora vamos aos limites. Primeiro:

lim x → + ∞ ⁡ f x

Vai ficar:

lim x → + ∞ ⁡ x 4 - 3 x 2 x 2 - 1 2 = lim x → + ∞ ⁡ x 4 1 - 3 x 2 x 4 1 - 1 x 2 2 = lim x → + ∞ ⁡ 1 - 3 x 2 1 - 1 x 2 2 = 1 - 0 1 - 0 2 = 1 1 = 1

Então temos assíntota oblíqua desse lado.

Vamos achar o valor de b

Passo 11

b = lim x → + ∞ ⁡ f x - a x

Colocando os valores:

b = lim x → + ∞ ⁡ x 3 x 2 - 1 - x = lim x → + ∞ ⁡ x 3 - x x 2 - 1 x 2 - 1 = lim x → + ∞ ⁡ x x 2 - 1 =

Usando a fatoração do x 2 - 1

lim x → + ∞ ⁡ x x 2 1 - 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 1 x 1 - 1 x 2 = 1 ∞ 1 - 0 = 1 ∞ = 0

A assíntota oblíqua para x → + ∞ vai ser:

y = x

Passo 12

O outro vai ser:

lim x → - ∞ ⁡ f x

Vai ficar:

lim x → - ∞ ⁡ x 4 - 3 x 2 x 2 - 1 2 = lim x → - ∞ ⁡ x 4 1 - 3 x 2 x 4 1 - 1 x 2 2 = lim x → - ∞ ⁡ 1 - 3 x 2 1 - 1 x 2 2 = 1 - 0 1 - 0 2 = 1 1 = 1

Vamos achar o valor de b

Passo 13

b = lim x → - ∞ ⁡ f x - a x

Colocando os valores:

b = lim x → - ∞ ⁡ x 3 x 2 - 1 - x = lim x → - ∞ ⁡ x 3 - x x 2 - 1 x 2 - 1 = lim x → - ∞ ⁡ x x 2 - 1 =

Usando a fatoração do x 2 - 1

lim x → - ∞ ⁡ x x 2 1 - 1 x 2 = lim x → - ∞ ⁡ 1 x 1 - 1 x 2 = 1 ∞ 1 - 0 = 1 ∞ = 0

A assíntota oblíqua para x → - ∞ vai ser:

y = x

Passo 14

Vamos para as verticais. Para isso, temos que procurar algum valor de x que faça o limite ir para . Normalmente procuramos quando o denominador da fração for 0 . Que vai ser o nosso

x = ± 1

Que já achamos. Precisamos analisar a assíntota antes e depois do 1 para ver se de fato temos assíntotas verticais.

lim x → 1 + ⁡ f x

E

lim x → 1 - ⁡ f x

E

lim x → - 1 + ⁡ f x

E

lim x → - 1 - ⁡ f x

Passo 15

lim x → - 1 + ⁡ f x = lim x → - 1 + ⁡ x 3 x 2 - 1 = - 1 3 - 1 2 - 1 = - 1 0

Opa, deu um número divido por 0 , então ele vai dar , é uma assíntota vertical. Cabe agora descobrir o sinal para o esboço do gráfico.

O nosso numerador vai ser x 3 , quando x estiver perto de - 1 , ele vai ser - 1 3 = - 1 , o que faz com que ele seja negativo

Nosso denominador vai ter x 2 se aproximando de 1 por valores maiores que 1 . Isso porque x se aproxima de - 1 por valores maiores que - 1 , seria tipo - 0,9 e por aí vai.

Quando elevamos ao quadrado, esse valor fica menor que 1 por conta do sinal. Entao x 2 - 1 é negativo.

A nossa fração será positivo, então

lim x → - 1 + ⁡ f x = lim x → - 1 + ⁡ x 3 x 2 - 1 = - 1 3 - 1 2 - 1 = - 1 0 = + ∞

Então

x = - 1

É assíntota vertical

Passo 16

lim x → - 1 - ⁡ f x = lim x → - 1 - ⁡ x 3 x 2 - 1 = - 1 3 - 1 2 - 1 = - 1 0

Opa, deu um número divido por 0 , então ele vai dar , é uma assíntota vertical. Cabe agora descobrir o sinal para o esboço do gráfico.

O nosso numerador vai ser x 3 , quando x estiver perto de - 1 , ele vai ser - 1 3 = - 1 , o que faz com que ele seja negativo

Nosso denominador vai ter x 2 se aproximando de 1 por valores menores que 1 . Isso porque x se aproxima de - 1 por valores menores que - 1 , seria tipo - 1,1 e por aí vai.

Quando elevamos ao quadrado, esse valor fica maior que 1 por conta do sinal. Entao x 2 - 1 é positivo.

A nossa fração será negativa, então

lim x → - 1 - ⁡ f x = lim x → - 1 - ⁡ x 3 x 2 - 1 = - 1 3 - 1 2 - 1 = - 1 0 = - ∞

Então

x = - 1

É assíntota vertical

Passo 17

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ x 3 x 2 - 1 = 1 3 1 2 - 1 = 1 0

Opa, deu um número divido por 0 , então ele vai dar , é uma assíntota vertical. Cabe agora descobrir o sinal para o esboço do gráfico.

O nosso numerador vai ser x 3 , quando x estiver perto de 1 1 , ele vai ser 1 3 = 1 1 , o que faz com que ele seja positivo

Nosso denominador vai ter x 2 se aproximando de 1 por valores maiores que 1 . Isso porque x se aproxima de 1 por valores maiores que 1

Quando elevamos ao quadrado, esse valor fica maior que 1 . Entao x 2 - 1 é positivo.

A nossa fração será positivo, então

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ x 3 x 2 - 1 = 1 3 1 2 - 1 = 1 0 = + ∞

Então

x = 1

É assíntota vertical

Passo 18

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ x 3 x 2 - 1 = 1 3 1 2 - 1 = 1 0

Opa, deu um número divido por 0 , então ele vai dar , é uma assíntota vertical. Cabe agora descobrir o sinal para o esboço do gráfico.

O nosso numerador vai ser x 3 , quando x estiver perto de 1 , ele vai ser 1 3 = 1 , o que faz com que ele seja positivo

Nosso denominador vai ter x 2 se aproximando de 1 por valores menores que 1 . Isso porque x se aproxima de 1 por valores menores que 1

Quando elevamos ao quadrado, esse valor fica menor que 1 . Entao x 2 - 1 é negativo.

A nossa fração será negativa, então

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ x 3 x 2 - 1 = 1 3 1 2 - 1 = 1 0 = - ∞

Então

x = 1

É assíntota vertical

Passo 19

Vamos aos extremos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar o sinal de f ' x .

f ' x = x 4 - 3 x 2 x 2 - 1 2

Colocando x 2 em evidência

f ' x = x 2 x 2 - 3 x 2 - 1 2

Como o denominador é sempre positivo e x 2 tambem, basta olharmos o sinal de x 2 - 3 , que é uma função de 2 º grau.

Entre as raízes, vamos ter a derivada negativa, e antes ou depois ela vai ser positiva.

Vamos achar as raízes:

x = ± 3

Assim:

f ' x > 0 ⟷ x ∈ - ∞ , - 3 ∪ 3 , + ∞

f ' x < 0 ⟷ x ∈ - 3 , - 1 ∪ - 1,1 ∪ 1 , 3

Mas porque separamos no - 1 e 1 ? Lembra lá no inicio que vimos que ele não está na função? Então de lá para frente devemos tirá-lo da conta de tudo, menos assíntota vertical.

A função é crescente se f ' x > 0 e decrescente se f ' x < 0 , então:

c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - ∞ , - 3 ∪ 3 , + ∞

d e c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - 3 , - 1 ∪ - 1,1 ∪ 1 , 3

Passo 20

Agora vamos ver os extremos. Pelo teste da primeira derivada, teremos máximo quando a função vai de crescente para decrescente, e mínimo quando a função for de decrescente para crescente.

Pelos intervalos do passo anterior, vamos ter

x = - 3 → m á x i m o

x = 3 → m í n i m o

Passo 21

Vamos agora para a concavidade e os pontos de inflexão. A função é côncava para cima se f ' ' x > 0 e côncava para baixo se f ' ' x < 0 .

O ponto vai ser de inflexão quando muda a concavidade.

Para acharmos a derivada, vamos usar a regra do quociente:

f ' ' x = x 4 - 3 x 2 ' x 2 - 1 2 - x 4 - 3 x 2 x 2 - 1 2 ' x 2 - 1 4

f ' ' x = 4 x 3 - 6 x x 2 - 1 2 - x 4 - 3 x 2 2 x 2 - 1 2 x x 2 - 1 4

f ' ' x = 4 x 3 - 6 x x 2 - 1 2 - 4 x x 4 - 3 x 2 x 2 - 1 x 2 - 1 4

Colocando x 2 - 1 em evidência no numerador:

f ' ' x = x 2 - 1 4 x 3 - 6 x x 2 - 1 - 4 x x 4 - 3 x 2 x 2 - 1 4

f ' ' x = x 2 - 1 4 x 5 - 4 x 3 - 6 x 3 + 6 x - 4 x 5 + 12 x 3 x 2 - 1 4

f ' ' x = x 2 - 1 2 x 3 + 6 x x 2 - 1 4

Simplificando x 2 - 1

f ' ' x = 2 x 3 + 6 x x 2 - 1 3

Colocando 2 x em evidência:

f ' ' x = 2 x x 2 + 3 x 2 - 1 3

O sinal depende só de 2 x x 2 - 1 3 , vamos montar o quadro de sinais:

Assim

f ' ' x > 0 ⟺ x ∈ - ∞ , - 1 ∪ 0,1

f ' ' x < 0 ⟺ x ∈ - 1,0 ∪ 1 , + ∞

Então:

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟺ x ∈ - ∞ , - 1 ∪ 0,1

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟺ x ∈ - 1,0 ∪ 1 , + ∞

Isso também nos diria que x = - 1 e 1 é ponto de inflexão, mas ele não está na função. Mas x = 0 vai ser ponto de inflexão

Passo 22

Assintota oblíquoa:

y = x

Assíntotas verticais:

x = - 1

Onde x → - 1 - , f x → - ∞ , e x → - 1 + , f x → + ∞

x = 1

Onde x → 1 - , f x → - ∞ , e x → 1 + , f x → + ∞

c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - ∞ , - 3 ∪ 3 , + ∞

d e c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - 3 , - 1 ∪ - 1,1 ∪ 1 , 3

x = - 3 → m á x i m o

x = 3 → m í n i m o

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟺ x ∈ - ∞ , - 1 ∪ 0,1

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟺ x ∈ - 1,0 ∪ 1 , + ∞

x = 0 ponto de inflexão

Tangente de inflexão:

f ' 0 = 0 2 0 2 - 3 0 2 - 1 2 = 0

O gráfico vai ficar:

Resposta

Assintota oblíquoa:

y = x

Assíntotas verticais:

x = - 1

Onde x → - 1 - , f x → - ∞ , e x → - 1 + , f x → + ∞

x = 1

Onde x → 1 - , f x → - ∞ , e x → 1 + , f x → + ∞

c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - ∞ , - 3 ∪ 3 , + ∞

d e c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - 3 , - 1 ∪ - 1,1 ∪ 1 , 3

x = - 3 → m á x i m o

x = 3 → m í n i m o

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟺ x ∈ - ∞ , - 1 ∪ 0,1

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟺ x ∈ - 1,0 ∪ 1 , + ∞

x = 0 ponto de inflexão

Tangente de inflexão:

f ' 0 = 0 2 0 2 - 3 0 2 - 1 2 = 0

O gráfico vai ficar:

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