Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.7 - Ex. 55
Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de , determinando o seguinte:
Os extremos relativos de ;
Os pontos de inflexão do gráfico de ;
Os intervalos em que é crescente
Os intervalos em que é decrescente;
Onde o gráfico é côncavo para cima;
Onde o gráfico é côncavo para baixo;
A inclinação de qualquer tangente de inflexão;
As assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem
Passo 1
Essa função tem domínio sendo:
Vamos para as assíntotas:
Vamos começar pela assíntota horizontal.
Assíntota horizontal: fazer o limite no infinito. Ou seja,
Como é menor que , não teremos assíntota com
Passo 2
Agora vamos aos limites.
Vai ficar:
Então não temos assíntota horizontal desse lado.
Passo 3
Agora vamos para as assíntotas oblíquas. Só vamos fazer essas assíntotas se não existirem as horizontais. Elas substituem as horizontais por cada lado.
Se as assíntotas horizontais não existirem, talvez existir a oblíqua. Para isso, devemos achar os coeficientes e de que é a equação da assíntota obliqua.
De novo, por contas domínio, só vamos olhar para o
Para isso, devemos fazer
Se esse valor existir, aí fazemos
Passo 4
Para acharmos a derivada, vamos usar a regra do produto:
Como é negativo, vamos ter:
Agora vamos aos limites.
Vai ficar:
Colocando em evidência no numerador
Temos que
Isso porque é negativo, então dentro da raiz ele precisa aparece r com para que fique positivo ali dentro.
também não teremos a oblíquoa.
Passo 5
Vamos para as verticais. Para isso, temos que procurar algum valor de que faça o limite ir para . Normalmente procuramos quando o denominador da fração for . Aqui, temos uma potencia racional, que é uma fração na potência. Nesses casos não teremos assíntotas verticais.
Passo 6
Vamos aos extremos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar o sinal de .
A raiz do denominador é sempre positiva, então o sinal depende só de
Então, vamos ter:
Lembrando que o domínio limita a função em
A função é crescente se e decrescente se , então:
Passo 7
Agora vamos ver os extremos. Pelo teste da primeira derivada, teremos máximo quando a função vai de crescente para decrescente, e mínimo quando a função for de decrescente para crescente.
Passo 8
Vamos agora para a concavidade e os pontos de inflexão. A função é côncava para cima se e côncava para baixo se .
O ponto vai ser de inflexão quando muda a concavidade.
Vamos pegar
Usando a regra do quociente:
Podemos não colocar o módulo ali no denominador, porque o domínio dizque é positivo
Colocando o em evidência no segundo termo, , vamos ter:
Como o domínio diz que é sempre positivo, o nosso denominador vai ser sempre positivo. O sinal da segunda derivada vai depender só de:
Então:
Mas como a nossa função está restrita a valores negativos de , aquele primeiro intervalo não vai contar. Vamos ter:
LEbrmando que o nosso domínio para em
Então:
Isso também nos diz que não temos ponto de inflexão.
Passo 9
Para terminar vamos ao esboço. Para isso, precisamos juntar todas as informações.
Não possui assíntota
O gráfico vai ficar:
Resposta
O gráfico vai ficar:
