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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 8.3 - Ex. 37

Encontre o centroide da região delimitada pelas curvas y = x 2 - x e y = x 2 - 1  

Passo 1

Sabendo que

x - = 1 A ∫ 0 1 x [ f x - g x ] d x

E,

y - = 1 A ∫ 0 1 [ f x ] 2 - g x 2 d x

Onde A   é área entre as funções.

Vamos achar logo a área , bb! Cuja interseção da curvas acontece em x = - 1 e   x = 1  

A = ∫ - 1 1 x 3 - x - x 2 - 1 d x = ∫ - 1 1 1 - x 2 d x =   2   ∫ 0 1 1 - x 2 d x = 2   x - 1 3 x 3 0 1 = 2   2 3 = 4 3

Daí,

  x - = 1 A ∫ - 1 1 x ( x 3 - x - x 2 + 1   )   d x = 1 4 3 ∫ - 1 1 ( x 4 - x 2 - x 3 + x   )   d x = 3 4 ∫ - 1 1 x 4 - x 2   d x   = 3 4 ⋅ 2 ∫ 0 1 x 4 - x 2   d x   = 3 2 1 5 x 5 - 1 4 x 3 0   1 = 3 2   - 2 15 = - 1 5

E,

y - = 1 A ∫ 0 1 1 2 x 3 - x 2 - ( x 2 - 1 )   2 d x = 3 4 ⋅ 1 2 ∫ - 1 1 x 6 - 2 x 4 + x 2 - x 4 + 2 x 2 - 1   d x = 3 8 ⋅ 2   ∫ 0 1 x 6 - 2 x 4 + x 2 - x 4 + 2 x 2 - 1   d x = 3 4 1 7 x 7 - 3 5 x 5 + x 3 - x   = 3 4 - 16 35 =   - 12 35

Então o centroide é

x - , y - = - 1 5 - 12 35

Passo 2

Vamos desenhara região...

O que mostra que nossas contas são razoáveis, tendo e vista que o ponto encontrado fica numa zona mais densa.

Resposta

x - , y - = - 1 5 - 12 35

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