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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 8.2 - Ex. 9

Calcule a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x .  

  y = s e n   π x ,     0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

O enunciado pede pra a gente encontrar a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x para:

y = s e n   π x ,     0 ≤ x ≤ 1

Para isso utilizamos a seguinte fórmula :

S = ∫     2 π y   d s ,

onde d s = 1 + d y d x 2 d x .

Passo 2

Primeiro precisamos calcular o d s :

d s = 1 + d y d x 2 d x

Calculamos primeiro a derivada:

d s e n   π x d x = π cos ⁡ π x   d x  

Passo 3

A integral que corresponde a área da superfície rotacionada em relação ao eixo x é:

S = ∫ 2 π y   d s = ∫ 0 1   2 π   s e n   π x 1 + π 2 cos 2 ⁡ ( π x )   d x  

Fazendo a substituição:

u = π cos ⁡ π x ⇒ d u =   - π 2 s e n   π x   d x

Mudando os sinais de integração:

x =   0 ⇒ u = π e x = 1 ⇒ u =   - π

∫ 0 1   2 π   s e n   π x 1 + π 2 cos 2 ⁡ π x   d x   = 2 π ∫ π - π   1 + u 2   - 1 π 2   d u  

Resolvendo as contas:

2 π ∫ π - π   1 + u 2   d u   = 4 π   ∫ 0 π   1 + u 2   d u   = 4 π [ u 2   1 + u 2 + 1 2 ln ⁡ ( u + 1 + u 2 ) ] ​ 0 π    

Substituindo as contas:

4 π π 2   1 + π 2 + 1 2 ln ⁡ π + 1 + π 2     - 0

A = 2   1 + π 2 + 2 π   ln ⁡ π + 1 + π 2    

Prontinhoo!

Resposta

A = 2   1 + π 2 + 2 π   ln ⁡ π + 1 + π 2    

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