Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.5 - Ex. 63
Encontre o centroide da região limitada pelo eixo x e a metade superior da elipse .
Passo 1
Então pessoal, o centroide de uma região é dado pelos pontos , no qual essas coordenadas significam o seguinte:
Mas po, o que são esses e ? São os momentos da região em relação a e em relação a , respectivamente. Eles são definidos como:
Como o gráfico é simétrico, segundo a definição temos que e, portanto, também! Agora só falta conseguirmos determinar , não é mesmo? Antes disso, vamos pegar a equação da elipse que nos foi dada e vamos isolar , a fim de descobrir :
Passo 2
De acordo com o que foi discutido no passo 1, temos:
De acordo com a seção 7.3 do Stewart, a área de uma elipse é definida como , mas como estamos integrando apenas metade da área, então teremos:
Aqui vale ressaltar que os valores de e são retirados da elipse, ok? No nosso caso, a elipse tem a seguinte forma:
Comparando com o formato padrão de uma equação de elipse, que é:
Podemos tirar que e , tranquilão? Substituindo o valor de em , teremos:
Passo 3
Agora que temos uma integral para resolver, vamos resolve-la uai!!! Simplificando o integrando, teremos:
Utilizando a regra:
Teremos:
Sendo assim, o centroide está em .