Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.8 - Ex. 26
Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
Passo 1
Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.
Aqui queremos encontrar a derivada da função dada usando a definição, e também queremos encontrar os domínios da derivada e da função, o domínio são para quais valores de aquela função existe.
Vamos lá, para calcular pela definição vamos ter que relembrar a fórmula:
Passo 2
Ela parece complicada, mas só parece, temos que substituir com a função que queremos, vamos lá:
Pronto, agora para resolver esse limite vamos ter que dá uma manipulada nele, vamos lá!!
Passo 3
Vamos destrinchar esse numerador e ver se fica simples resolver, vamos devagar pra não cometer nenhum erro:
Fazendo a distributiva:
Organizando a função:
Agora calma, não se assuste, vamos fazer algumas manipulações e vai da tudo certo. Vamos tirar o mínimo comum do numerador, vamos lá, com calma:
Realizando o mmc:
Agora fazendo as distributivas:
Simplificando os termos:
Pronto, chegamos em uma expressão simples, agora é só resolver aplicadando o valor que tende:
Passo 4
Agora vamos ver os domínios das duas funções:
Com a função devemos nos preocupar com o denominador, que não pode ser igual a , assim devemos ter que
então o domínio é .
Com a derivada da função, temos a mesma restrição, assim também o mesmo domínio .