Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.8 - Ex. 28
Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
Passo 1
Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.
Aqui queremos encontrar a derivada da função dada usando a definição, e também queremos encontrar os domínios da derivada e da função, o domínio são para quais valores de aquela função existe.
Vamos lá, para calcular pela definição vamos ter que relembrar a fórmula:
Passo 2
Ela parece complicada, mas só parece, temos que substituir com a função que queremos, vamos lá:
Pronto, agora para resolver esse limite vamos ter que dá uma manipulada nele, vamos lá!!
Passo 3
Agora calma, não se assuste, vamos fazer algumas manipulações e vai da tudo certo. Vamos tirar o mínimo comum do numerador, vamos lá, com calma:
Realizando o mmc:
Realizando a distributiva:
Vamos multiplicar a expressão do numerador pelo conjugado do numerador, já que temos raíz alí no meio, vamos lá, com calma:
Realizando a simplificação dos termos:
Organizando a fração:
Simplificando:
Pronto, chegamos em uma expressão simples, agora é só resolver aplicadando o valor que tende:
Passo 4
Agora vamos ver os domínios das duas funções:
Com a função devemos nos preocupar com o denominador, que não pode ser igual a e nem menor que devido a raíz, assim devemos ter que , então o domínio é .
Com a derivada da função, temos a restrição que apenas o denominador deve ser diferente de , assim temos o domínio e .
Resposta
Domínio de =
Domínio de = e