Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.1 - Ex. 53
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de no intervalo dado
Passo 1
Fala a��, tudo belezinha com você?
Bom, essa questão é bem direta. Ela pede pra gente encontrar os valores de máximo e mínimo absoluto de no intervalo dado
E para isso precisamos lembrar que o número crítico da função é o valor de que faz com que a inclinação da reta tangente ao gráfico da função seja igual a zero.
Esses pontos ajudam a gente a encontrar os valores de máximo ou mínimo da função.
Para achá-los, faremos:
Então, para encontra-lo, basta derivarmos a função e igualar a zero. E resolver a equação resultante.
Depois de achar os pontos críticos, basta calcular o valor da função nesses pontos e nos extremos do intervalo para saber quais são os valores de máximo e mínimo da função.
Vamos nessa!
Passo 2
Primeiramente, necessitamos calcular a derivada de para encontrar os números críticos.
Como nossa função é dada por:
Perceba que ela é uma divisão entre duas funções. Sendo assim, usaremos a regra do quociente pra fazer essa derivação.
Sendo:
Assim,
E arrumando o numerador, ficamos com:
Agora vamos igualar a derivada a zero pra encontrar os pontos críticos.
Passo 3
Igualando a zero
Como o denominador de uma fração nunca pode ser igual a zero, podemos analisar diretamente o numerador.
Assim:
Se o denominador for igual a zero, teremos que não estará definido, então também teremos um número crítico, logo, igualando o denominador a zero, ficamos com
Logo, o denominador nunca será igual a zero no domínio dos números reais.
Passo 4
Aplicando o método do intervalo fechado, necessitamos calcular . Note que não será calculado pois ele não está dentro do intervalo dado. Então
Com isso, podemos ver que é um ponto de máximo absoluto e é um ponto de mínimo absoluto.
Resposta
é um ponto de máximo absoluto e é um ponto de mínimo absoluto.