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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.8 - Ex. 28

Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.

f x = x 2 - 1 2 x - 3

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá:

f x = x 2 - 1 2 x - 3

E pede pra a gente calcular g ' ( x ) usando a definição derivada e dizer qual é o domínio de g ( x ) e g ' ( x ) .

Vamos relembrar a definição de derivada:

f ' x =   lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) f

Aqui não tem mistério, temos que substituir e calcular. O único ponto de atenção é que, como h → 0 não podemos calcular direto, se não teremos uma indeterminação! Então vamos ter que dar aquela manipulada no limite pra fugir disso. Beleza?!

Passo 2

Substituindo nossa função na definição de derivada:

f ' x =   lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) f

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h 2 - 1 2 x + h - 3 - x 2 - 1 2 x - 3   h

Fazendo o mmc no numerador:

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h 2 - 1 2 x - 3 - x 2 - 1 2 x + h - 3 2 x + h - 3 2 x - 3   h

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h 2 - 1 2 x - 3 - x 2 - 1 2 x + h - 3 h 2 x + h - 3 2 x - 3

Abrindo as expressões no numerador e no denominador:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 2 x 2 h + 2 x h 2 - 6 x h - 3 h 2 + 2 h h 4 x 2 - 12 x + 4 x h - 6 h + 9

Podemos fazer:

f ' x = lim h → 0 ⁡ h 2 x 2 + 2 x h - 6 x - 3 h + 2 h 4 x 2 - 12 x + 4 x h - 6 h + 9

Cortando o h podemos finalmente calcular o limite:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 2 x 2 + 2 x h - 6 x - 3 h + 2 4 x 2 - 12 x + 4 x h - 6 h + 9

f ' x = 2 x 2 - 6 x + 2 4 x 2 - 12 x + 9

f ' x = 2 x 2 - 6 x + 2 2 x - 3 2

Pronto, a derivada está calculada. Agora vamos aos domínios...

Passo 3

Para calcular o domínio de uma função temos que pensar em quais pontos essa função não pode ser calculada, para f x = x 2 - 1 2 x - 3   temos uma denominador que não pode ser igual a zero, então:

2 x - 3 ≠ 0

2 x ≠ 3

x ≠ 3 2

Sendo assim:

D o m   f x = R - 3 2

Vamos ver o da derivada agora.

f ' x = 2 x 2 - 6 x + 2 2 x - 3 2

Aqui a restrição é a mesma, o denominador 2 x - 3   deve ser diferente de zero, então:

D o m   f ' x = R - 3 2

Resposta

f ' x = 2 x 2 - 6 x + 2 2 x - 3 2

D o m   f x = R - 3 2

D o m   f ' x = R - 3 2

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Use os gráficos dados para estimar o valor de cada derivada. f ' ( 0 )