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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.5 - Ex. 3

Encontre o deslocamento u(r, t) de uma membrana circular elástica de raio 1 em vibração satisfazendo a condição de contorno.

e as condições iniciais

em que f(1)=g(1) = 0.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar a equação dada.

u 1 , t = 0

Para a função, temos que as condições de contorno são homogêneas.

u r , 0 = f ( r )

u r r , 0 = g r

f 1 = g 1 = 0

a 2 u r r + 1 r u r = u r t

u r , t = ∑ k n J 0 λ n r sin ⁡ λ n a t + c n J 0 λ n r cos ⁡ λ n a t

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

u r , 0 = ∑ c n J 0 λ n r

u r , t = ∑ k n J 0 λ n r sin ⁡ λ n a t + c n J 0 λ n r cos ⁡ λ n a t

c 0 = ∫ r f ( r ) J 0 λ n r d x ∫ r f ( r )   J 0 ²   λ n r d x

k n = 1 λ n a ∫ r J 0 λ n r g r d r ∫ r J 0 2 λ n r d r

Resposta

u r , t = ∑ k n J 0 λ n r sin ⁡ λ n a t + c n J 0 λ n r cos ⁡ λ n a t

c 0 = ∫ r f ( r ) J 0 λ n r d x ∫ r f ( r )   J 0 ²   λ n r d x

k n = 1 λ n a ∫ r J 0 λ n r g r d r ∫ r J 0 2 λ n r d r

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