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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.8 - Ex. 6b

6. A. Encontre a solução u r ,   θ da equação de Laplace na região semicircular r < a , 0 < θ < π , que satisfaz as condições de contorno

u r ,   0 = 0 ,       u r ,   π = 0 ,           0 ≤ r < a

u a ,   θ = f θ ,           0 ≤ θ ≤ π

Suponha que u está bem definida e é limitada na região dada.

B. Encontre a solução se f θ = θ π - θ .

Passo 1

L e t r a   B :

No exercício anterior determinamos a solução da equação de Laplace na região semicircular o qual encontramos a seguinte solução:

u r , θ = ∑ k = 1 ∞ c k r k sen ⁡ k θ

Onde o c k são os coeficientes dessa função dados por...

c k = 2 a k π ∫ 0 π f θ sen ⁡ 2 k θ d θ

Veja então que encontrar a solução onde...

f θ = θ π - θ

Nada mais é do que resolver essa integração aí obtendo os valores de c k . Vamos nessa?

Passo 2

Essa integral pode ser resolvida por partes:

∫     θ π - θ sen ⁡ 2 k θ d θ

Onde θ π - θ = θ π - θ 2 será a nossa função u enquanto que o d v será o seno:

u = θ π - θ               e               d v = sin ⁡ 2 k θ d θ

d u = π - 2 θ   d t θ               e               v = - cos ⁡ 2 k θ 2 k

∫     θ π - θ sen ⁡ 2 k θ d θ = - θ π - θ cos ⁡ 2 k θ 2 k - ∫     - cos ⁡ 2 k θ 2 k π - 2 θ   d θ   →

∫     θ π - θ sen ⁡ 2 k θ d θ = - θ π - θ cos ⁡ 2 k θ 2 k + 1 2 k ∫     π - 2 θ cos ⁡ 2 k θ   d θ  

Usando uma nova integração por partes...

u = π - 2 θ               e               d v = cos ⁡ 2 k θ d θ

d u = - 2   d t θ               e               v = sin ⁡ 2 k θ 2 k

Então...

∫     π - 2 θ cos ⁡ 2 k θ   d t θ = π - 2 θ sin ⁡ 2 k θ 2 k - ∫     sin ⁡ 2 k θ 2 k - 2   d θ   →

∫     π - 2 θ cos ⁡ 2 k θ   d t θ = π - 2 θ sin ⁡ 2 k θ 2 k + 2 2 k ∫     sin ⁡ 2 k θ d θ   →

∫     π - 2 θ cos ⁡ 2 k θ   d t θ = π - 2 θ sin ⁡ 2 k θ 2 k - 2 2 2 k 2 cos ⁡ 2 k θ

Finalmente a integral que queremos pra se ter b n então é...

∫     θ π - θ sen ⁡ 2 k θ d θ = - θ π - θ cos ⁡ 2 k θ 2 k + 1 2 k ∫     π - 2 θ cos ⁡ 2 k θ   d θ   →

∫     θ π - θ sen ⁡ 2 k θ d θ = - θ π - θ cos ⁡ 2 k θ 2 k + 1 2 k π - 2 θ sin ⁡ 2 k θ 2 k - 1 2 k 2 cos ⁡ 2 k θ  

∫     θ π - θ sen ⁡ 2 k θ d θ = - θ π - θ cos ⁡ 2 k θ 2 k + π - 2 θ sin ⁡ 2 k θ 2 2 k 2 - 1 2 2 k 3 cos ⁡ 2 k θ

Substituindo os limites de 0 a π :

- θ π - θ cos ⁡ 2 k θ 2 k + π - 2 θ sin ⁡ 2 k θ 2 2 k 2 - 1 2 2 k 3 cos ⁡ 2 k θ 0 π     →

- π π - π cos ⁡ 2 k π 2 k + π - 2 π sin ⁡ 2 k π 2 2 k 2 - 1 2 2 k 3 cos ⁡ 2 k π - 0 + 0 - 1 2 2 k 3 cos ⁡ 0     →

Simplificando se lembrando que sin ⁡ 2 k π = 0 ...

- 1 2 2 k 3 cos ⁡ 2 k π - - 1 2 2 k 3     →

- 1 2 2 k 3 cos ⁡ 2 k π + 1 2 2 k 3

Podemos simplificar ainda mais se lembrando de que cos ⁡ 2 k π = - 1 k , então...

c k = 2 a k π ∫ 0 π f θ sen ⁡ 2 k θ d θ     →

c k = 2 a k π - 1 2 2 k 3 cos ⁡ 2 k π - 1   →

c k = - cos ⁡ 2 k π - 1 2 k 3 a k π

Resposta

u r , θ = ∑ k = 1 ∞ c k r k sen ⁡ k θ

c k = - cos ⁡ 2 k π - 1 2 k 3 a k π

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