Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.8 - Ex. 5
5. Encontre a solução da equação de Laplace
Fora do círculo que satisfaça as condições de contorno
Sobre o círculo. Suponha que está bem definida e é limitada para .
Passo 1
Enunciando a Equação de Laplace em coordenadas polares:
Fazendo a separação de variáveis:
Substituindo na equação e utilizando notação conveniente:
Passo 2
Agrupando termos:
E isolando:
Igualando ambas as expressões a uma constante arbitrária:
Passo 3
Agora vamos avaliar quais faixas de valores de são possíveis para a solução. Estudando a equação em , tentamos :
Entretanto, como deve ser -periódica, essa solução só funciona para . Portanto temos:
Passo 4
Testando , fazemos:
Supondo por simplicidade, de forma que . Seguindo:
Que tem equação característica:
Que resulta na solução:
Como essa solução é -periódica para todo , está valendo.
Passo 5
Por fim, testamos . Fazendo:
Plugando na equação:
Que tem equação característica:
Resultando na solução:
Esta solução não é -periódica para quaisquer valores de , portanto concluímos que:
Passo 6
Como para todo a solução trigonométrica funciona, fazendo (por elegância), temos então a autofunção de :
E a solução geral seria:
Substituindo os valores válidos de na equação em , temos para :
Arrumando:
Como buscamos uma solução para todo , a solução não interessa. Segue:
Passo 7
Arrumando mais para podermos integrar:
Integrando ambos os lados:
Pra quem lembra dos macetes de Cálculo 1:
Caso você não tenha sacado, pode resolver de outros jeitos.
Integrando novamente:
Mas tenha em mente que a solução precisa ser periódica para ela estar bem definida, o que significa que deve ser . Afinal, se ele não for a solução não será periódica! Saca? Então...
Passo 8
Testando a outra faixa possível , fazemos , :
Que é a famosa equação de Euler. Fazendo a solução genérica:
Plugamos:
Como para todos valores de :
As soluções então são:
Passo 9
Como a solução não pode explodir em nenhum ponto da nossa Região, e como estamos falando de uma região fora do círculo, se tender ao infinito, temos que permanecer com uma solução que não explode isso significa que o termo tem que ser .
Logo, podemos falar que o conjunto fundamental de soluções de deve ser...
Plugando na autofunção geral:
Sem esquecer que temos também a solução constante:
A solução geral portanto fica:
Passo 10
Precisamos agora determinar os coeficientes e . Utilizando a última condição que sobrou do enunciado:
Basta substituir o na função...
Como à esquerda temos uma série de Fourier da função f, os coeficientes podem ser encontrados pelas fórmulas:
Como a função é -periódica, temos que . Descobrimos os coeficientes: