Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.5 - Ex. 33
Encontre a equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.
33. Parábola, foco , diretriz .
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado quer que encontremos a equação para uma cônica.
Para isso, ele nos dá três condições:
- Trata-se de uma parábola;
- Tem diretriz em .
- Tem foco em .
Para resolvermos isso, temos que saber do que trata-se uma parábola.
Bom... seja a seguinte parábola:
- O ponto é chamado de foco e determina essa figura;
- A reta é chamada de diretriz da parábola. A distância entre qualquer ponto da parábola e a sua diretriz é igual à distância entre esse mesmo ponto da parábola e o seu foco;
- O vértice da parábola é o ponto mais próximo de sua diretriz.
Assim, temos a equação padrão da parábola:
Esse valor determina a distância focal da parábola, bem como a direção em que a parábola se abre.
Agora que já sabemos os conceitos, vamos aplicar!! 😉
Passo 2
Bom... como sabemos que o foco e a diretriz são equidistantes ao vértice da parábola, podemos determinar o valor de e das translações da parábola em relação aos eixos.
A distância total entre a diretriz e o foco é , então o vértice se encontra em:
Como o foco está à esquerda do vértice, (concavidade para a esquerda):
Passo 3
Como a equação da diretriz é dada por um valor de x, ela será uma reta vertical, e a equação padrão será:
Substituindo e como sabemos que o vértice não está na origem, mas sim transladado para a equação passa a ser: