(a) Encontre a função de comprimento de arco para a curva medida a partir do ponto P na direção de aumento de t, em seguida reparametrize a curva em realação ao comprimento de arco para o ponto P, e (b) encontre o ponto 4 unidades ao longo da curva (na direção de aumento de t) para P.

A função de comprimento de arco de uma curva é dado por , mas sabemos que sua derivada é:

a) Como é uma função vetorial a sua derivada corresponde a derivada de cada componente, então calculando a derivada obtemos:

Calculando para obter o comprimento de arco, precisamos da magnitude de :

Agora integramos essa magnitude de até :

Esta é a função de comprimento de arco que mede a distância ao longo da curva a partir do ponto inicial .

Vamos agora reparametrizar a curva em função do comprimento de arco , expressamos em termos de :

Substituimos esta expressão na função original para obter :

Isso resulta em:

Finalmente para encontrar o ponto que está 4 unidades de comprimento de arco ao longo da curva a partir de , definimos :

Substituimos na curva original.

Portanto, o ponto desejado na curva, 4 unidades de comprimento de arco a partir de , é: