Encontre o comprimento da curva.

r(t) = t^2 * i^ + 9t * j^ + 4 * t^(3/2) * k^ 1 ≤ t ≤ 4

Passo 1

Olá, meu amigo. Irei te ajudar a resolver essa atividade de cálculo.

Dada a curva parametrizada:

r → t = t 2 i ^ + 9 t j ^ + 4 t 3 / 2 k ^

Iremos calcular o comprimento dessa curva entre os pontos:

1 ≤ t ≤ 4

O comprimento de uma curva é dado pela seguinte relação:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t

Então iremos precisar utilizar dessa fórmula para encontrarmos o comprimento. Deveremos então derivar as componentes x ,   y ,   z da nossa curva para conseguirmos resolver essa atividade.

Para a nossa curva, temos:

x = t 2   ;   y = 9 t   ;   z = 4 t 3 / 2

a = 1   ;   b = 4

Passo 2

Calculando as derivadas que estão dentro da raíz na integral:

d x d t = 2 t

d y d t = 9

d z d t = 12 2 t 1 / 2   = 6 t 1 / 2  

Passo 3

Portanto o comprimento da curva é:

L = ∫ 1 4 2 t 2 + 9 2 + 6 t 1 2 2 d t

L = ∫ 1 4 4 t ² + 81 + 36 t   d t

Como temos um produto notável:

L = ∫ 1 4 2 t + 9 2   d t

Retirando a raiz:

L = ∫ 1 4 2 t + 9 d t

L = 4 2 + 9 ∙ 4 - 1 2 + 9 ∙ 1

L = 42

Resposta

L = 42

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