Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 58
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Oii pessoal, show de bola??
“A loucura é como a gravidade, só precisa de um empurrãozinhooo...”
Bora resolver essa atividade comigo hoje!!
A questão nos pede para encontrar o limite da função
Quando se aproxima de pela direita
Para encontrar o limite de uma expressão na forma quando tende a um certo valor, podemos utilizar propriedades dos logaritmos.
A ideia é transformar a expressão em uma forma que possamos aplicar a regra de L'Hospital ou outros métodos de cálculo de limites.
A regra de L'Hospital é usada quando encontramos limites na forma indeterminada, como ou .
No nosso caso, a expressão pode ser manipulada para se enquadrar em uma dessas formas.
Passo 2
Vamos manipular a expressão para facilitar a aplicação de limites. Primeiro, vamos tomar o logaritmo natural dos dois lados da expressão:
Seja
Então,
Usamos a propriedade do logaritmo que diz
Temos então:
Passo 3
Agora, temos um novo limite para encontrar:
Vamos verificar se podemos aplicar a regra de L'Hospital.
Para isso, analisamos a forma do limite.
Quando
e
Assim,
tem a forma indeterminada que pode ser reescrita como uma fração para usar L'Hospital:
Agora, temos uma forma indeterminada .
Podemos aplicar a regra de L'Hospital, que nos diz para derivar o numerador e o denominador até que a indeterminação seja resolvida.
Passo 4
Aplicamos a regra de L'Hospital:
Calculamos as derivadas:
Numerador:
Utilizamos a regra da cadeia:
Denominador:
Passo 5
Agora, substituímos as derivadas na expressão do limite:
Sabemos que:
E que:
Podemos escrever:
Simplificando:
Teremos então:
E a gente pode colocar os limites assim:
Calculando:
Passo 6
Agora a gente precisa voltar para calcular o limite de:
A gente já descobriu que:
Então:
“Faça seus medos terem medo de você”
