Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.8 - Ex. 15
Um peru assado é tirado de um forno quando a sua temperatura atinge C e ele é colocado sobre uma mesa em um cômodo em que a temperatura é C.
(a) Se a temperatura do peru for C depois de meia hora, qual será a temperatura depois de minutos?
(b) Quando o peru terá esfriado para C?
Passo 1
Opa, temos uma questão natalina!
Aqui a gente vai avaliar o resfriamento de um peru assado! O enunciado diz que ele sai do forno quando esta a (a carne do peru, não a temperatura do forno rs) e ele só é colocado na mesa quando sua temperatura chega a !
Na letra (a) temos a informação de que depois de a temperatura do peru chega a , sabendo disso, qual é a temperatura depois de min?
Pra resolver esse problema vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que diz que, a taxa de resfriamento de um objeto é proporcional à diferença de temperaturas entre o objeto e o meio circundante (para diferenças não muito grandes) ou seja:
Onde é a temperatura em função do tempo , a constante é a temperatura do meio circundante e é a taxa de resfriamento relativa e constante.
Podemos dizer que:
Então temos:
Que é o mesmo resultado que a gente obtem quendo derivamos .
Passo 2
Toda vez que nos deparamos com uma função do tipo devemos saber que as únicas soluções desse tipo de equação diferencial são as exponenciais do tipo:
Ou
Se quando minutos, o peru com temperatura C, em um meio circundante com temperatura C, apresenta a temperatura C, podemos substituir esses valores na equação exponencial:
Jogando dos dois lados:
Logo, a temperatura obedece a função:
Passo 3
Agora sim, podemos calcular a temperatura depois de minutos, é só encontrar :
Pela propriedade do logaritmo temos que:
Pela propriedade dos exponenciais podemos fazer:
Então:
Calculando:
C
Logo, após minutos a temperatura é de aproximadamente C
Passo 4
Agora, para a letra (b), quando o peru vai estar a ?!
O peru terá esfriado para C quando , portanto, devemos achar o para que isso aconteça:
Podemos reescrever a exponencial:
Assim:
Jogando ln dos dois lados:
Calculando:
Logo, o peru terá esfriado para C após aproximadamente 98 minutos.
Resposta
(a) Após minutos a temperatura é de aproximadamente °C.
(b) O peru terá esfriado para C após aproximadamente 98 minutos.