Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → ∞ ⁡ x ( ln ⁡ 2 ) / ( 1 + ln ⁡ x )

Passo 1

Oi Oi, como vai você?

Nessa questão queremos encontrar o seguinte limite:

lim x → ∞ ⁡ x ( ln ⁡ 2 ) / ( 1 + ln ⁡ x )

E aqui podemos usar a regra de L’hospital que diz que se tivermos uma indeterminação do tipo 0 / 0 ou ± ∞ / ± ∞ , basta derivarmos em cima e embaixo até sairmos da indeterminação.

Se substituirmos o valor do limite, teremos:

lim x → ∞ ⁡ x ( ln ⁡ 2 ) / ( 1 + ln ⁡ x ) = ∞ l n 2 / ( 1 + ln ⁡ ∞ )   = ∞ l n 2 / ∞ = ∞ 0

Que é uma indeterminação, mas não é uma indeterminação de L’hospital.

Nossa estratégia aqui vai ser a seguinte.

Como temos uma função que é do tipo:

y = f x g x

Vamos fazer

y = e ln ⁡ y

Isso vai facilitar a nossa vida, saca só:

Passo 2

Antes de você pensar em usar a regra de L’Hospital, você deve pensar em deixar o limite numa forma que seja possível usá-la!!! Vamos usar que y = e ln ⁡ y para simplificar o limite:

x ( ln ⁡ 2 ) / ( 1 + ln ⁡ x ) = e ln ⁡ x ( ln ⁡ 2 ) / ( 1 + ln ⁡ x )

Agora, vamos aplicar a regra de descer o expoente do logaritmo multiplicando:

e ln ⁡ x ( ln ⁡ 2 ) / ( 1 + ln ⁡ x ) = e l n 2 1 + l n x ⋅ l n x

Com relação ao limite, temos:

lim x → ∞ ⁡ e l n 2 1 + l n x ⋅ l n x

Como e é uma constante, podemos jogar o limite para o expoente, tendo portanto:

lim x → ∞ ⁡ e l n 2 1 + l n x ⋅ l n x = e lim x → ∞ ⁡ l n 2 1 + l n x ⋅ l n x

Desta forma, o limite que precisamos calcular é

lim x → ∞ ⁡ l n 2 1 + l n x ⋅ l n x

Substituindo o valor do limite, temos:

lim x → ∞ ⁡ l n 2 1 + l n x ⋅ l n x = ln ⁡ 2 1 + l n ∞ ⋅ ln ⁡ ∞

= ln ⁡ 2 1 + ∞ ⋅ ∞ = ∞ / ∞

Agora temos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ : podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

Nosso limite é:

lim x → ∞ ⁡ l n 2 ln ⁡ x 1 + l n x

Derivando em cima e embaixo separadamente, temos:

lim x → ∞ ⁡ l n 2 x 1 x = l i m x → ∞ x l n 2 x    

Substituindo o limite, temos:

l i m x → ∞ x l n 2 x = ∞ / ∞

Continuamos com uma indeterminação, mas provavelmente se aplicarmos L’Hospital novamente saíremos dela.

Passo 4

Aplicando novamente a regra de L’hospital, vamos derivar em cima e embaixo:

l i m x → ∞ x l n 2 x = l i m x → ∞ ln ⁡ 2 1 = ln ⁡ 2

Opa, chegamos em um resultado, mas antes vamos lembrar que nosso limite era:

lim x → ∞ ⁡ x ( ln ⁡ 2 ) / ( 1 + ln ⁡ x ) = lim x → ∞ ⁡ e l n 2 1 + l n x ⋅ l n x = e lim x → ∞ ⁡ l n 2 1 + l n x ⋅ l n x

Dessa forma, encontramos que:

lim x → ∞ ⁡ l n 2 1 + l n x ⋅ l n x = ln ⁡ 2

Portanto,

lim x → ∞ ⁡ x ( ln ⁡ 2 ) / 1 + ln ⁡ x = e lim x → ∞ ⁡ l n 2 1 + l n x ⋅ l n x = e l n 2

E assim chegamos no resultado que é:

lim x → ∞ ⁡ x ( ln ⁡ 2 ) / 1 + ln ⁡ x = e l n 2 = 2

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x ( ln ⁡ 2 ) / 1 + ln ⁡ x = 2

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