Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 62
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Oi Oi, como vai você?
Nessa questão queremos encontrar o seguinte limite:
E aqui podemos usar a regra de L’hospital que diz que se tivermos uma indeterminação do tipo ou , basta derivarmos em cima e embaixo até sairmos da indeterminação.
Se substituirmos o valor do limite, teremos:
Que é uma indeterminação, mas não é uma indeterminação de L’hospital.
Nossa estratégia aqui vai ser a seguinte.
Como temos uma função que é do tipo:
Vamos fazer
Isso vai facilitar a nossa vida, saca só:
Passo 2
Antes de você pensar em usar a regra de L’Hospital, você deve pensar em deixar o limite numa forma que seja possível usá-la!!! Vamos usar que para simplificar o limite:
Agora, vamos aplicar a regra de descer o expoente do logaritmo multiplicando:
Com relação ao limite, temos:
Como é uma constante, podemos jogar o limite para o expoente, tendo portanto:
Desta forma, o limite que precisamos calcular é
Substituindo o valor do limite, temos:
Agora temos uma indeterminação do tipo : podemos aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 3
Nosso limite é:
Derivando em cima e embaixo separadamente, temos:
Substituindo o limite, temos:
Continuamos com uma indeterminação, mas provavelmente se aplicarmos L’Hospital novamente saíremos dela.
Passo 4
Aplicando novamente a regra de L’hospital, vamos derivar em cima e embaixo:
Opa, chegamos em um resultado, mas antes vamos lembrar que nosso limite era:
Dessa forma, encontramos que:
Portanto,
E assim chegamos no resultado que é: