Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 56
Encontre o limite . Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado . Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê.
Passo 1
Opa, bora fazer essa questão?! Temos o limite:
Essa questão é beeem direta, temos que encontrar o limite usando a regra de l’Hôspital quando for necessário.
Beleza, mas quando é necessário?!
Quando substituímos o valor de na função e encontramos uma indeterminação na forma:
Então a primeira coisa que precisamos fazer é substituir o valor de , se encontramos o valor de limite de cara, perfeito! Caso contrário podem acontecer duas coisas:
- Encontramos a indeterminação e aplicamos a regra de l’Hôspital;
- Encontramos outro tipo de indeterminação e manipulamos a função pra tentar chegar na indeterminação acima.
Show, mas como usamos a regra de l’Hôspital?! Segundo ela temos que:
Se, depois de aplicarmos a regra de l’Hôspital e voltarmos a encontrar a indeterminação da regra de l’Hôspital, então podemos aplicar a regra de novo, de novo e quantas vezes forem necessárias!
Vamos lá?!
Passo 2
Começamos tentando resolver o limite por substituição:
Não podemos aplicar l’Hôspital, então vamos precisar manipular essa função!
Passo 3
Beleza, mas como?! Temos um limite de log:
Então podemos usar a seguinte propriedade:
Aplicando pro nosso caso:
Tá, mas e agora? O quociente tá dentro do logaritmo. Aí que vem o pulo do gato! O logaritmo é uma função contínua então o log dá uma puladinha, ele vai pra fora do limite, ou seja:
Vamos tentar substituir de novo no limite:
Então a regra de l’Hôspital ta valendo!
Passo 4
Vamos ignorar o log por enquanto e focar no limite:
Derivando o numerador e o denominador:
Calculando:
Voltando com o log:
Então:
Prontinho!