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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 2

2. Calcule a integral

int_0^1 (3 x + 1)^(sqrt(2)) d x

Passo 1

A ideia nessa questão vai ser fazer a seguinte substituição:

u = 3 x + 1

Derivando,

d u = 3 d x

Logo,

d x = (1)/(3) d u

Passo 2

Como fizemos uma substituição, temos que mudar os limites de integração!

x = 0 -> u = 3 * 0 + 1 = 1

x = 1 -> u = 3 * 1 + 1 = 4

Nossa integral era:

I = int_0^1 (3 x + 1)^(sqrt(2)) d x

E vai ficar o seguinte:

int_1^4 (u^(sqrt(2)) d u)/(3)

Isto é,

I = (1)/(3) int_1^4 u^(sqrt(2)) d u

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

Passo 3

Integrando!

I = (1)/(3) * [(u^(sqrt(2) + 1))/(sqrt(2) + 1)]_1^4

Assim,

I = (1)/(3) * ((4^(sqrt(2) + 1))/(sqrt(2) + 1) - (1^(sqrt(2) + 1))/(sqrt(2) + 1))

Portanto,

I = (4^(sqrt(2) + 1) - 1)/(3 ( sqrt(2) + 1 ))

Resposta

(4^(sqrt(2) + 1) - 1)/(3 ( sqrt(2) + 1 ))

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