Encontre os números críticos da função

g(θ) = 4θ - tan(θ)

Passo 1

Opa! O enunciado nos dá a seguinte função:

g (theta) = 4 theta - tan theta

Os números críticos são onde a derivada é zero. Então vamos calcular a derivada da função e ver para quais valores ela zera!

Passo 2

Derivando:

g (theta) = 4 theta - tan theta

g^' (theta) = 4 - sec^2 theta

Agora, igualando a zero, ficamos com:

4 - sec^2 theta = 0

sec^2 theta = 4

sec theta = +- 2

Passo 3

Sabemos que:

sec (x) = (1)/(cos (x))

Então:

(1)/(cos theta) = +- (2)/(1)

cos theta = +- (1)/(2)

Dessa forma os números críticos são aqueles onde seu cosseno é igual a +- (1)/(2) :

cos^(- 1) (+- (1)/(2)) = theta

De forma geral temos:

theta = (pi)/(3) + 2 k pi , (2 pi)/(3) + 2 k pi , (4 pi)/(3) + 2 k pi e (5 pi)/(3) + 2 k pi (P a r a k = 1,2 , 3 , ...)

Resposta

Os números críticos da função são (pi)/(3) + 2 k pi , (2 pi)/(3) + 2 k pi , (4 pi)/(3) + 2 k pi e (5 pi)/(3) + 2 k pi (P a r a k = 1,2 , 3 , ...)

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