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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.4 - Ex. 13d

Encontre o ponto de bifurcação α0 no qual os pontos críticos coincidem. Localize esse ponto crítico e encontre os autovalores do sistema linear aproximado. Desenhe um retrato de fase..

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos os valores críticos das equações e achar o equilíbrio. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar quais os pontos críticos, ou seja, igualar as derivadas a zero.

d x d t = 0

d y d t = 0

Oque nos leva a:

y = 3 2 α

y =   - x 2 + 4 x

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

J = 2 x - 4 1 0 - 1

J 3,3 = 2 1 0 - 1     ∴       r =   - 1   ; r = 2 → p o n t o   d e   s e l a

J 1,3 = - 2 1 0 - 1     ∴       r =   - 1   ; r = - 2 → a s s i n t o t i c a m e n t e   e s t á v e l

A bifurcação ocorre em

- x - 2 2 + 4

2   ,   4

r = 0   ; r =   - 1

Resposta

r = 0   ; r =   - 1

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Encontre a matriz jacobiana J e calcule-a em cada um dos pontos críticos.
Encontre a matriz jacobiana J e calcule-a em cada um dos pontos críticos.
Determine o tipo e as propriedades de estabilidade de cada ponto crítico. Dê atenção especial ao que acontece quando α passa por um ponto de bifurcação.
Desenhe retratos de fase para o sistema para valores selecionados de α para confirmar suas conclusões.
Nos problemas de 5 a 16:a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.c) Encontre os autovalores de cada sis