Enunciado

Encontre o ponto na curva de r t = 2 cos ⁡ t ,   2   s e n   t ,   e t , 0 ≤ t ≤ π , em que a reta tangente é paralela ao plano 3 x + y = 1 .

Passo 1

Falaee, tudo tranquilo?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função vetorial:

r t = 2 cos ⁡ t ,   2   s e n   t ,   e t

Queremos encontrar um ponto dessa curva em que a reta tangente é paralela ao plano 3 x + y = 1 .

Obs: o intervalo de t dado é 0 ≤ t ≤ π .

Para encontrarmos esse ponto, primeiro temos que derivar r t , termo por termo (pois a gente sabe que quando falamos em reta tangente, estamos falando de derivadas hehe).

Em seguida, precisamos saber que a linha tangente à curva é paralela ao plano quando o vetor tangente da curva é ortogonal ao vetor normal do plano.

Para isso, é necessário que a gente multiplique, de forma escalar, os vetores r ' t com o vetor do plano e iguale a zero.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Temos a curva:

r t = 2 cos ⁡ t ,   2   s e n   t ,   e t

Derivando cada termo, temos:

r t = 2 cos ⁡ t ' ,   2   s e n   t ' ,   e t ' ∴

r ' t = - 2 sen ⁡ t ,   2 cos ⁡ t ,   e t

Da equação do plano, temos:

3 x + y = 1

Podemos elaborar uma função vetorial, no seguinte formato:

p t = 3 ,   1 ,   0

Passo 3

A linha tangente à curva é paralela ao plano quando o vetor tangente da curva é ortogonal ao vetor normal do plano. Assim, é necessário que:

r ' t ⋅ p t = 0 ∴

- 2 sen ⁡ t ,   2 cos ⁡ t ,   e t 3 ,   1 ,   0 = 0 ∴

- 2 3 sen ⁡ t + 2 cos ⁡ t + 0 = 0 ∴

2 3 sen ⁡ t = 2 cos ⁡ t ∴

sen ⁡ t cos ⁡ t = 1 3

Logo:

tan ⁡ t = 1 3

Isolando t temos que:

t = tan - 1 ⁡ 1 3

t = π 6

Obedencendo a condição dada inicialmente do intervalo 0 ≤ t ≤ π .

Passo 4

Assim, substituindo no vetor r t , encontramos o ponto dessa curva em que a reta tangente é paralela ao plano:

r π 6 = 2 3 2 ,   2 1 2 ,   e π / 6 ∴

r π 6 = 3 ,   1 ,   e π / 6

Resposta

r π 6 = 3 ,   1 ,   e π / 6

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