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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.2 - Ex. 13

Determine a derivada da função vetorial.

r t = t s e n   t i + e t cos ⁡ t j + s e n   t cos ⁡ t k

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Nos é dada a função vetorial:

r t = t s e n   t i + e t cos ⁡ t j + s e n   t cos ⁡ t k

O nosso objetivo é encontrar a derivada da função vetorial, e para isso deveremos derivar cada termo que compõem essa função vetorial.

r ˙ t = d d t t s e n   t i + d d t e t cos ⁡ t j + d d t s e n   t cos ⁡ t k

Veja que em certos momentos deveremos aplicar a regra do produto para derivadas, pois temos aqui um produto entre funções a derivar.

Passo 2

Vamos calcular cada componente separadamente para ficar bem claro.

A derivada da função t s e n   t é conseguida através da regra do produto.

d d t u ⋅ v = d u d t v + u d v d t

Assim, aplicando ao problema, temos:

d d t t s e n   t = d t d t s e n   t + t d s e n   t d t

Resolvendo, temos:

d d t t s e n   t = 1 s e n   t + t cos ⁡ t

d d t t s e n   t = t cos ⁡ t + s e n   t

Passo 3

Para a derivada de e t cos ⁡ t também temos que aplicar a regra do produto.

d d t e t cos ⁡ t = d e t d t cos ⁡ t + e t d cos ⁡ t d t

Resolvendo, temos:

d d t e t cos ⁡ t = e t cos ⁡ t + e t - sen ⁡ t

d d t e t cos ⁡ t = e t cos ⁡ t - e t sen ⁡ t

Passo 4

Para a derivada de s e n   t cos ⁡ t também temos que aplicar a regra do produto.

d d t s e n   t cos ⁡ t = d s e n   t d t cos ⁡ t + s e n   t d cos ⁡ t d t

Resolvendo, temos:

d d t s e n   t cos ⁡ t = cos ⁡ t cos ⁡ t + s e n   t - sen ⁡ t

d d t s e n   t cos ⁡ t = cos 2 ⁡ t - s e n 2   t

Por identidade trigonométrica, sabemos que cos 2 ⁡ t - s e n 2   t = cos ⁡ 2 t . Portanto:

d d t s e n   t cos ⁡ t = cos ⁡ 2 t

Logo, a derivada da equação será:

r ˙ t = t cos ⁡ t + s e n   t i + e t cos ⁡ t - e t sen ⁡ t j + cos ⁡ 2 t k

Resposta

r ˙ t = t cos ⁡ t + s e n   t i + e t cos ⁡ t - e t sen ⁡ t j + cos ⁡ 2 t k

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