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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.4 - Ex. 14b

Encontre os pontos críticos.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos os valores críticos das equações e achar o equilíbrio. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar quais os pontos críticos, ou seja, igualar as derivadas a zero.

(d x)/(d t) = 0

(d y)/(d t) = 0

Oque nos leva a:

y = (3)/(2) alpha

y = - x^2 + 4 x

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

- x^2 + 4 x - (3)/(2) alpha = 0

x = 2 +- sqrt(4 - (3)/(2) alpha)

Assim, os pontos críticos são:

(2 + sqrt(4 - (3)/(2) alpha) , (3)/(2) alpha)

(2 - sqrt(4 - (3)/(2) alpha) , (3)/(2) alpha)

Resposta

(2 + sqrt(4 - (3)/(2) alpha) , (3)/(2) alpha)

(2 - sqrt(4 - (3)/(2) alpha) , (3)/(2) alpha)

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Determine os pontos de bifurcação.
Encontre a matriz jacobiana J e calcule-a em cada um dos pontos críticos.
Determine o tipo e as propriedades de estabilidade de cada ponto crítico. Dê atenção especial ao que acontece quando α passa por um ponto de bifurcação.
Encontre o ponto de bifurcação α0 no qual os pontos críticos coincidem. Localize esse ponto crítico e encontre os autovalores do sistema linear aproximado. Desenhe um retrato de fase..
Seja α = 2. Classifique cada ponto crítico investigando o sistema linear correspondente. Desenhe um retrato de fase em um retângulo contendo os pontos críticos..