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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.4 - Ex. 17e

Determine o tipo e as propriedades de estabilidade de cada ponto crítico. Dê atenção especial ao que acontece quando α passa por um ponto de bifurcação.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos os valores críticos das equações e achar o equilíbrio. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar quais os pontos críticos, ou seja, igualar as derivadas a zero.

d x d t = 0

d y d t = 0

Oque nos leva a:

x 1 - x - y = 0

y α - y - 0,5 x = 0

Através das relações, temos que o os pontos serão:

Com isso, podemos ver que:

α = 0,5

α = 0

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

J = 1 - 2 x - y - x - 0,5 y α - 2 y - 0,5 x

J 0,0 =   1 0 0 α     ∴       r = 1   ;     r = α →     i n s t á v e l    

J 0 , α =   1 - α 0 - 0,5 α - α     ∴       r = 1 - α       ;     r =   - α →     a s s i n t o t i c a m e n t e   e s t á v e l  

J 1,0 =   - 1 - 1 0 α - 0,5     ∴       r =   - 1     ;     r = α - 0,5 → a s s i n t o t i c a m e n t e   e s t á v e l

J 2 - 2 α ,   - 1 + 2 α =   - 1 - 1 0 α - 0,5 ∴     r = - 1 ± 1 - 4 2 α 2 - 3 α + 1 2 → a s s i n t o t i c a m e n t e   e s t á v e l  

Resposta

J 0,0 =   1 0 0 α     ∴       r = 1   ;     r = α →     i n s t á v e l    

J 0 , α =   1 - α 0 - 0,5 α - α     ∴       r = 1 - α       ;     r =   - α →     a s s i n t o t i c a m e n t e   e s t á v e l  

J 1,0 =   - 1 - 1 0 α - 0,5     ∴       r =   - 1     ;     r = α - 0,5 → a s s i n t o t i c a m e n t e   e s t á v e l

J 2 - 2 α ,   - 1 + 2 α =   - 1 - 1 0 α - 0,5 ∴     r = - 1 ± 1 - 4 2 α 2 - 3 α + 1 2 → a s s i n t o t i c a m e n t e   e s t á v e l  

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