Em cada um dos problemas de 11 a 14, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.Baseado no campo de direções, determine o comportamento de y quando t→∞ . Se esse comportamento depender do valor incial deye mt=0 , descreva essa dependência. Note que, nesses problemas, as equações não são da forma y ' = a y + b , e o comportamento é um pouco mais complicado do que o das soluções das equações no texto y ' = y ( 4 - y )

y → 4 para valores iniciais positivos yd i v e r g ed e0 para valores iniciais negativos

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 1.1 - Ex. 11

Em cada um dos problemas de 11 a 14, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.Baseado no campo de direções, determine o comportamento de y quando . Se esse comportamento depender do valor incial de, descreva essa dependência. Note que, nesses problemas, as equações não são da forma e o comportamento é um pouco mais complicado do que o das soluções das equações no texto

Passo 1

Campos de direções são ferramentas valiosas no estudo de soluções de equações diferenciais da forma

Em que é uma função dada de duas variáveis, , algumas vezes chamada de função taxa. Um campo de direções pode ser constuido calculando em cada ponto de uma malha retangular. Em cada ponto da malha desenha-se um pequeno segmento de reta cujo coeficiente angular é o valor da função naquele ponto.

Um campo de direções fornece uma boa ideia do comportamento global das soluções de uma equação diferencial.

Para construir campos de direções não precisamos resolver nossa EDO, basta calcular a função dada muitas vezes.

Passo 2

Nesse caso a nossa função de duas variáveis tem duas raízes 0 e 4. O coeficiente angular que representa os segmentos no campo de direções vai obedecer o sinal de que é uma parábola com concavidade para baixo, ou seja, para o coeficiente é positivo, caso contrário, negativo, De modo que o campo tem o seguinte gráfico

Portanto, y converge para 4 se a condição inicial é y positivo e diverge de zero se o valor inicial for negativo

Resposta

para valores iniciais positivos

para valores iniciais negativos

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